二次函数图像的变换
第一环节 【知识储备】
一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成2
()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出
二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图
所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++； 3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，
对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开
口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
第二环节 【新知探究】
【问题一】 平移变换
求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。
跟踪练习
（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？
（2）若抛物线2
y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
【问题二】 对称变换
（1）求与抛物线 关于y 轴对称的抛物线的解析式； （2）求与抛物线
关于x 轴对称的抛物线的解析式．
变式练习
求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线x ＝－1对称后所得到图象对应函数解析式。
()2211y x =-+2
245y x x =-+
【问题三】 旋转变换
求抛物线223y x x =+-绕着顶点旋转
的到抛物线解析式。
变式练习 求抛物线223y x x =+-绕着原点旋转
的到抛物线解析式。
第三环节 【知识反馈】
1．把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是 。
2. 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线y ＝1对称后所得到图象对应函数解析式。
3.抛物线2
y ax bx c =++向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最后绕着顶点旋转180°得到抛物线22y x =，则a= ,b= ,c= 。
1800180
课时作业
一、选择题
1．将抛物线22y x =如何平移得到抛物线22(14)21y x =--（ ）
A ．向左平移14个单位，再向上平移21个单位。
B ．向左平移14个单位，再向下平移21个单位。
C ．向右平移14个单位，再向上平移21个单位。
D ．向右平移14个单位，再向下平移21个单位。
2．要从抛物线2211(1)322y x y x =-=-+-得到的图象，则抛物线212
y x =-必须（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位。
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位。
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位。
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
3．把抛物线2y ax bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是235y x x =-+，则有（ ）
A ．b=3，c=7
B ．b=－9，c=－5
C ．b=3，c=3
D ．b=－9，c=21
4．把抛物线23y x =向右平移一个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A ．23(1)2y x =--
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =++
D ．23(1)2y x =-+
5．与抛物线1542--=x y 形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线15
42--=x y 的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是（ ）
A ．3542+-
=x y B.3542--=x y C.2542+-=x y D.25
42--=x y 二、填空题
1．将函数22(3)y x =-的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是 。
2．若抛物线2245y x x =--向左向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图象的解析式是 。
3．将抛物线223y x x =-+向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的解析式为 。
将抛物线223y x x =-+向 平移 个单位，再向 平移 个单位，便可得到2y x =的图象，抛物线223y x x =-+关于x 轴对称的抛物线的解
析式为 。
4.把函数23x y -=的图象沿x 轴翻折,得到的图象的解析式是
5．抛物线2y ax bx c =++向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着原点旋转180°得到抛物线2
23y x x =-+，则a= ,b= ,c= 。
三、解答题
1.已知函数()212y x =-+，
⑴ 求绕顶点旋转180后的函数关系式；
⑵ 求绕原点旋转180后的函数关系式。
2.求把二次函数 的图象关于下列直线y ＝1对称后所得到图象对应函数解析式。
3．将抛物线2143y x x =---向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到22y ax bx c =++． （1）求,,a b c 的值；
（2）设抛物线2y 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，求ABC ∆面积．
2
23y x x =+-。