Wi
W x
i i
yC
y
W Wi yi
zi xC xi
zC
zC
W Wi zi W
yC
x
有影响，可使物体
被分割成任意个部分进行计算。通常，对均质连续的物体 通常对物体在极限情况下 (n-∞)进行分割， 此时重心坐标 公式转化成积分形式。
2 R sin 3
y
R
2 C
x
扇形形心为
xC 2 R sin 3
y
当α为90°时，扇形为半圆
R C
x
xC
2 R sin

2 4R 3 3 2
对这类常用的简单几何图形和均质物体的重心或形心位置，均 可采用积分法进行求解。也可直接查询工程手册的形心表。
常 见 平 面 图 形 的 形 心 公 式 表
C
C
C
2. 积分法
例2：求半径为R，顶角为2 的扇形的形心。
如图所示建立参考直角坐标系，x为对称轴 yC 0
y
微元部分的面积为:
A
d
1 1 2 dA dL R R d 2 2
dA
O

C
B
扇形形心为
2 微元部分的形心坐标：x R cos 3 2 1 2 xdA R cos R d 3 2 A x x C 2 A R 2 2 1 3 R cos d 3 R 2 sin 2 R 3
M z ( FR ) M z ( F1 ) M z ( F2 ) M z ( Fn ) M z ( Fi )
即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有 分力对同一轴的矩的代数和。
当力臂难以判定，可利用合力矩定理来进行力对轴之
矩的求解。
例1： 在直角弯杆的C端作用 着力F， 试求这力对三个坐标 轴的矩。已知 OA =a = 6 m， AB=b=4 m，BC=c=3 m，q
xC yC zC
xdW
W
W

W
ydW W
zdW
W
W
对于均质物体，重心和形心重合。可推知均质体，均质板，均
质杆的重心（形心）坐标公式分别为：
V x xdV ,y
i i V
立体 : xC
V
V
C
V y
i i
V
ydV V
V
, zC
V z zdV
3. 组合法（分割法和负面积法） 例3：求图示平面图形的形心，尺寸如图所示。
y
解：采用分割法
10
如图建立直角坐标系
A1 10 30 300mm , x1 5mm, y1 15mm
2
30
Ⅰ
Ⅱ
10
A2 10 15 150mm , x2 17.5mm, y2 5mm
问题引入：重心的计算是工程力学中的重要内容，和许多工程
实际问题密切相关。
手机的振动电机 偏心块
偏心块：手机的振动强度与偏心块的偏心距密切相关，那么，偏
心块的偏心距该如何求解呢？
y z
T形梁截面：这是常见的梁截面，在梁中应用非常广泛。对其进
行强度的时候必须求其形心。此截面的形心怎么求解呢？
第一节 空间任意力系概述 第二节 物体的重心
第二节 重心及形心
运动员速滑重心低且靠前
飞机重心位置靠前靠后均对飞行不利
重 心 与 物 体 的 平 衡 有 关
重心偏离造成船体倾斜
运渣车重心高造成侧翻
手机振动电机
压路机模型
重心偏离机器转轴会引起机器的振动。
一、重心的概念及公式 1. 重心的概念 物体的重力就是地球对物体的引力，物体上每个微小部分都
量，其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影的大小和它 与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手螺旋规则确定。
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'
可以得知： 力对//它的轴的矩为零,力F与轴共面时力对轴之矩为零。
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
M y M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) cF cos cos 0 bF sin 107 N m
M z M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz ) bF cos sin aF cos cos 0 69 N m
i i V
V
V
薄板(平面图形）: xC
A x xdA ,y
i i A
A
A
C
A y
i i
A
ydA A
A
细杆(平面线段）: xC
l x xdl ,y
i i l
l
l
C
l y
i
i
l
ydl
l
l
二、确定物体重心的几种方法 1. 对称判别法 若物体是均质的，且有对称面、对称轴、对称中心，则重心 或形心一定在对称面、对称轴和对称中心上。如均质球体的 重心在球心，圆形的形心在其圆心。
受地球引力的作用。这些引力组成的力系是一个空间汇交力
系，可近似地处理成一空间平行力系，此平行力系的合力W 称为物体的重力。
通过实验我们知道，无论物体怎样放置，这些平行力的合力 总通过物体内的一个确定点，这个点就是物体的重心。
2. 重心公式
z
建立空间直角坐标系，由空 间力系的合力矩定理可得：
xC
C W O
第一节 空间任意力系概述
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力
系，称空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系； (b)图中如果没有风力则为空间平行力系。
一、力对轴的矩的概念与计算
动 画 演 示
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数
=30º , β=60º ，F=25N。 解： 将力F分解成沿着坐标轴的分力
Fx F cos cos
Fy F cos sin
Fz F sin
M x M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) 0 aF sin cF cos sin 106 N m
2
O
25
x
xC yC
A x A
i
i i
A1 x1 A2 x2 300 5 150 17.5 mm 9 mm A1 A2 300 150 A1 y1 A2 y2 300 15 150 5 mm 12 m m A1 A2 300 150