工程力学
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
制作：郭智勇
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
重心的坐标公式
5
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2, y1 2.46m;
A2 0.48m2 , y2 1.2m;
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
0.072 2.46 0.481.2 1.36m; 0.072 0.48
例1 试确定下图的形心坐标。解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
120 10
y
C2
C1 80
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 101108A1
y
2
A2
A
A1 A2
图(a)
验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
计算物体形心的方法:分割法和负面积法
例2.求图示平面图形的形心.
5m
15m
20m
5m
y
解:(1)分割法
5m
取坐标如图且把平
面图形分为 A和 B两 部分.
C1
15m
5m
C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
A
o
C2
B
x
20m
515 2.5 15 512.5
A2
A
A1 A2
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
为确定物体重心的位置，如图取直角坐标系。将物体分成许多微小 部分，设任一微小部分的重力为G1，其作用点坐标为（x,y）则物 体的重心为
y
x
dA
x yy
x
xi Ai A
y
yi Ai A
x
制作：郭智勇
均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于 物体的几何形状和尺寸。由物体的几何形状和尺寸所 决定的物体的几何中心，称为形心。 对均质物体来说形心和重心是重合的。非均质物体的 重心和形心一般是不重合的。 通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。
6010110 34.7 10110 8010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1A2
5 (70110) 20.3 12080 70110
图(b)
y 5 (70110) 20.3 12080 70110
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第二节 确定物体重心和形心位置的方法
一、分割法
基本的形体的形心可用微分法来确定，也可从有关设计手册中查的，表4-1 给出了常用简单形状的均质物体的重心位置。 有些复杂的形体是由几个简单形体组合而成的，称为组合形体。
对于平面组合图形，可将其分割为几个简单的规则图形，然后由公 式求出其形心坐标公式为
若分解为１、２、３三个矩形，则
2.4m yo
0.12m
0.6m y
C1
1
c
3
2 yc' y1
C2
z'
y2
y1
0.2m
z
0.6 2.52 (1.26 1.2) y'c 0.6 2.52 2 0.2 2.4 0.16m;
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下一张 上一张
课后习题： 4-1
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
xc
515 15 5
7.5
yc
515 7.5 15 5 2.5 515 15 5
5
y
(2)负面积法
5m
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A.
C1(10,7.5)
C2
B
A
C1
5m
以及负面积的矩形B.
x
C2(12.5,10)
o
20m
xc
201510 151012.5 2015 1510
7.5
yc
2015 7.5 151010 2015 1510
x
xi Ai A
y
yi Ai A
二、组合截面的静矩与形心：
整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和 （由静矩定义可知）
n
如 : A Ai
i 1
则
n
Sx Ai yi Ay i 1
n
S y Ai xi Ax i 1
∴
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x
xi Ai A
y
yi Ai A
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悬挂法
悬挂法 只适用于很薄的物体。首先找一根细绳，在
物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重 力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就 是物体重心。
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（1）悬挂法
根据二力平衡的原理， 第一次悬挂，确定AB线
根据二力平衡的原理， 第二次悬挂，确定DE线
AB线与CD线的交点C即为物体的重心位置。