xdV
V
ydV
V

zd V
V
重心的坐标公式 为确定物体重心的位置，如图取直角坐标系。将物体分成许多微小 部分，设任一微小部分的重力为G1，其作用点坐标为（x,y）则物 体的重心为
y
x
dA
x
y x Biblioteka y xx A
i
i
A yi Ai A
y
制作：郭智勇
均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于 物体的几何形状和尺寸。由物体的几何形状和尺寸所 决定的物体的几何中心，称为形心。
例2.求图示平面图形的形心.
5m
15m 5m
20m
y
解:(1)分割法
5m
取坐标如图且把平 面图形分为 A和 B两 部分. C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
o
20m C1 15m B 5m
A
C2
x
5 15 2.5 15 5 12.5 xc 7.5 5 15 15 5
x y
x A
i
i
A yi Ai A
二、组合截面的静矩与形心： 整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和 （由静矩定义可知）
如 : A Ai
i 1
n
S x Ai yi Ay
则
i 1 n
n
S y Ai xi Ax
制作：郭智勇
z
Mi △Vi Pi C
物体重心的坐标为
xc yc
Px
i
i
O x yi yc 对于均质物体
xc yc zc
zi
P zc
P Pi yi P Pi zi P
xi
xc
y
zc
对于连续物体
i i
V x
V Vi yi V Vi zi V
xc yc zc
制作：郭智勇
悬挂法

悬挂法
只适用于很薄的物体。首先找一根细绳，在 物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重 力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就 是物体重心。

制作：郭智勇
（1）悬挂法
根据二力平衡的原理， 第一次悬挂，确定AB线
根据二力平衡的原理， 第二次悬挂，确定DE线
AB线与CD线的交点C即为物体的重心位置。
5 15 7.5 15 5 2.5 yc 5 5 15 15 5
y
(2)负面积法
5m
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A. C1(10,7.5) 以及负面积的矩形B. C2(12.5,10)
o
20m C2 B
A
C1 5m
x
20 15 10 15 10 12.5 xc 7.5 20 15 15 10
工程力学
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
对均质物体来说形心和重心是重合的。非均质物体的 重心和形心一般是不重合的。
通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。
制作：郭智勇
第二节 确定物体重心和形心位置的方法
一、分割法 基本的形体的形心可用微分法来确定，也可从有关设计手册中查的，表4-1 给出了常用简单形状的均质物体的重心位置。 有些复杂的形体是由几个简单形体组合而成的，称为组合形体。 对于平面组合图形，可将其分割为几个简单的规则图形，然后由公 式求出其形心坐标公式为
i 1
∴
制作：郭智勇
x y
x A
i
i
A yi Ai A
例1 试确定下图的形心坐标。 解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
y
120
C2
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xA
i
i
A

x1 A1 x 2 A2 A1 A2
C1
80
下一张 上一张
课后习题：
4-1
x
xA
i
i
A

x1 A1 x 2 A2 A1 A2
yA y
i
i
A

y 1 A1 y 2 A2 A1 A2
20 15 7.5 15 10 10 yc 5 20 15 15 10
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2 , y1 2.46m;
0.12m
0.6m y
A2 0.48m , y2 1.2m;
x A x A x x
i i
1
1
2
A2
A
A1 A2
x
5 (70 110 ) 20.3 120 80 70 110
图(b)
5 (70 110 ) y 20.3 120 80 70 110
验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
计算物体形心的方法:分割法和负面积法
2
1
C1
c 3 y1
2.4m
A1 y1 A2 y2 yc A1 A2
0.072 2.46 0.48 1.2 1.36 m; 0.072 0.48
2
yo
yc'
C2
y2
y1
z'
若分解为１、２、３三个矩形，则
y 'c
制作：郭智勇
0.2m
z
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.16 m; 0.6 2.52 2 0.2 2.4
10
3510110 20.3 101108010
yA y
i
x
i
A

y 1 A1 y 2 A2
图(a)
A1 A2 60 10 110 34.7 10 110 80 10
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
负面积 C2 C1