概率论与数理统计复习题 一．填空题1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件：, , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________.解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃=⋃⋃⋃2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为解：211413132521317C C C p C ==或者1241325213117C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155{(,)|,1,,6},{},()3612S i j i j A i j P A ===>== 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ⋃＝ 。

解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ⋃=+-=5.已知61)(,31)|(,41)(===B P A B P A P ，则()P A B ⋃=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==⨯=，1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ⋃= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==⇒=⇒=()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =⋃=--=8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)XB p ，3191{1}1{0}1(1),273P X P X p p ≥=-==--=∴= 9.设(),0XP λλ>，则X 的分布律为解：{},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===10．设随机变量X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，那么{4}P X == 。

解：由{1}{2}P X P X ===即221!2!e e λλλλλ--=⇒=，42222{4}4!3e P X e --=== 11.设随机变量(0,5)XU ,则方程22210Xx Xx ++=(x 为未知数)有实根的概率为 .解：23{0}{(2)420}{2}{0}5P P X X P X P X ∆≥=-⨯≥=≥+≤= 12.设(1,3),(2,4)XN Y N ，X 与Y 相互独立，则23Z X Y=-解：()2()3()4,()4()9()48E Z E X E Y Var Z Var X Var Y =-=-=+=,23(4,48)Z X Y N =--13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，则其中至少有一件是不合格品的概率为 ．解：26210121133C p C =-=-=14. 设随机变量),(Y X 的概率分布如 右表,则()E X = ,()Var X = 解：2212552{1},{2},(),()3,()3()33339P X P X E X E X Var X ====∴===-=15.已知随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布，则()E X = ,()Var X = 。

解：13()22E X +==，2(31)1()123Var X -== 16.二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ，则(,)f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰1 。

17．设随机变量,X Y 独立且,X Y 的概率密度分别为201,() 0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 4,02,()0,Y y y f y <<⎧=⎨⎩其它, 则(,)X Y 的联合概率密度为 。

解：X,Y 独立,801,02(,)()()0,X Y xyx y f x y f x f y <<<<⎧==⎨⎩其它, 18.设随机变量序列12,,,n X X X 相互独立，且服从同一分布，()k E X μ=存在，则0ε∀>，有11lim {||}nk n k P X n με→+∞=-≥=∑ 0 。

19.设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，(0,10),1,2,3,nX U n =，那么当n →+∞时11n i i X X n ==∑依概率收敛于 01052+=20.设X 、Y 相互独立且2()X m χ，2()Y n χ，则X Y +2()m n χ+。

21．设221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则(,)Cov X Y = 12ρσσ22.设12,,n X X X 是来自总体2(10)χ的样本，则统计量1nii Y X ==∑2(10)n χ。

23.设总体X 具有概率密度函数10()0xex f x elseθθ-⎧⎪≥=⎨⎪⎩，0θ>为已知，样本为12,,n X X X ，则()E X = ，()Var X = 。

解：()()E X E X θ==，2()()Var X Var X n nθ==。

24.在总体2(52,6.3)N 中随机抽一容量为36的样本，则样本均值X 落在到之间的概率为 。

解：()52E X =，26.3()36Var X =，226.3(52,)(52,1.05)36XN N =，53.85250.852{50.853.8}()()1.05 1.05(1.71)( 1.14)0.9564(10.8729)0.8293P X --<<=Φ-Φ≈Φ-Φ-=--= 25.设12,,n X X X 是来自总体X 的样本且2(),()E X Var X μσ==，2,μσ未知，则μ的矩估计量为 ，2σ的矩估计量为解：11222222221()()()[()]E X E X Var X E X μμμμμσμσμμ===⎧⎧∴⎨⎨==+==+=-⎩⎩22211,n i i X X X n μσ=∴==-∑26. 随机抽查某校的7名学生，测得他们的裸眼视力分别为：,,,,,,，则总体均值μ及方差2σ的矩估计值分别为=μˆ ，=2ˆσ ．解：由上22211111.2143,0.1755n n i i i i x x x x n n μσ==∴====-=∑∑27．设1210,,X X X 是来自总体2(0,0.3)N 的样本，则1021{ 1.44}i i P X =>=∑解：10222211(0,1),()(1),(10)0.30.30.09ii ii X XN X χχ=∴∴∑10101022220.9011111{ 1.44}{16}1{16}0.90,((10)15.987)0.090.09ii i i i i P X P X P X χ===>=>=-≤==∑∑∑ 28.设1210,,X X X 是来自总体2()Xn χ的样本，()E X = ,()Var X = ,2()E S = .解：()()E X E X n ==，()2()10105Var X n nVar X ===,2()()2E S Var X n == 29.设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ为未知参数，2S 为样本方差。

则22{2.041}S P σ≤= ，2()Var S =解：222(1)(1),16n S n n χσ--=222215{2.041}{30.615}S S P P σσ∴≤=≤20.990.99,((15)30.57830.615)χ==≈ 2222442222215152()()()()21515151515S S Var S Var Var σσσσσσ=⋅==⨯⨯=30.铅的密度测量值服从正态分布2(,)N μσ，测量16次，算得 2.705x =，0.029s =， 则μ的置信水平为0.95的双侧置信区间为 。

解：10.95,0.05αα-==，2σ未知,μ的置信区间为0.9750.9751122((1),(1))(2.705(15),2.705(15))(2.705 2.1314,2.705 2.1314)( 2.6895,2.7205)X n X n αα----=-=+=-二．计算题1.设某人按如下原则决定某日的活动：如该天天下雨，则以的概率外出购物，以的概率去探访朋友；如该天天不下雨，则以的概率外出购物，以的概率去探访朋友，设某地下雨的概率是。

（以下要求用字母表示随机事件，写出计算公式）(1)试求那天此人外出购物的概率。

(2)已知此人那天外出购物，试求那天下雨的概率。

解：设A:下雨，B: 购物 C:会友则()0.3P A =，()0.7P A =，(|)0.2,(|)0.8P B A P C A ==，(|)0.9,(|)0.1P B A P C A == （1）()()(|)()(|)()0.69P B P BA B A P B A P A P B A P A =⋃=+= （2）()(|)()0.20.32(|)()()0.6923P AB P B A P A P A B P B P B ⨯====2.设随机变量(1,4)X N ，现对X 进行三次独立观察，求至少有两次观察值大于1-的概率。

解：11{1}1{1}1()2P X P X -->-=-≤-=-Φ1(1(1))0.8413=--Φ=， 设Y 表示三次观察中观察值大于-1的次数，则(3,0.8413)YB ,则32{2}1{0}{1}1(10.8413)30.8413(10.8413)0.9403P Y P Y P Y ≥=-=-==---⨯-=。

3．某地抽查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 近似服从正态分布),(2σμN ，平均成绩为72，96分以上的考生占%,求：(1)标准差σ的值.(2)考生成绩在60分到84分之间的概率。