倍速课时学练
探究
把 a b ab
反过来，就可以 得到:
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
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例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
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解: (1) 12 4 3 22 3 2 3
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 (2) 4 25 10
(3) 9 1 (4) 9 1 3
4
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
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一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
×× √
××
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2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
练习
把下列各式化简：（1）－4 2
解：
37
；
（2）
2a a＋b
；
（3） 3
2 40
.
（1）－4 2 ＝－4 2 7 ＝－4 14 ；
37
3 7 7
21
（2） 2a ＝ 2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b
a＋b a＋b
(2) x • x3 x • x3 x4 x2
(3)2 ab • 3 b (2 3) ab • b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
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分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
a＋b
（3） 2 ＝
2 ＝ 2 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5
3 40 3 2 10 6 10 10 60 60 30
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注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分 母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。
课堂小结
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
计算：(1) 24 (2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
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12 2 3
探究
把 a a 反过来，就可以得到: bb
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
(2) 27 15 9 3 3 5
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a 2a a
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化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
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练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
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解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9 20 (2 3 3)2 20 18 360
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解： (2) 6 15 10 6 1510 233552 (2 3 5)2 302 30
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
（3 4）3 2 ＝ 6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y2 4xy
3.计算：
（1）－ 19 95
二次根式的乘除
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复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
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a2 a a (a≥0)
-a (a＜0)
1、一个长方形的长为 6cm，宽为 3cm， 这个长方形的面积是多 少？
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
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最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
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探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc ,
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（1）利用公式：
；
a a (a ≥0，b 0)
（2）把除法先写成b分式的b 形式，再化简为最简二次
根式.
3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次 根式化简，再考虑如何化去分母中的根号.
课堂知识反馈
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（ 5 ）＝ 10
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例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
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(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 (2) 2 3 (3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 3 3 32 32 3 解法二：
a b ab （a≥0，b≥0）
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探究
(4) (9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
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例题讲解
计算：
(1) 3 12 (2) x • x3
(3)2 ab • 3 b (4) 27 1
a
3
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解：(1) 3 12 312 36 6
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讨论
计算：
有什么发现？
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(1) 4 2 (2) 4 2
93
93
(3) 16 4 (3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
= 32
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
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a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解