九年级数学 一元二次方程组的专项 培优练习题附答案

一、一元二次方程 1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家 庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止 2008 年底全市汽车拥有量为 14.4 万 辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为 10 万辆． （1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到 2010 年底汽车拥有量不超过 15.464 万辆，据估计从 2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%，那么每年新增汽车数

量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：（ 1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量 ×（ 1+增长率）解决

问题； （ 2）参照增长率问题的一般规律，表示出 2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解． 试题解析：（ 1）设年平均增长率为 x，根据题意得： 10（ 1+x） 2=14.4， 解得 x=﹣2.2（不合题意舍去） x=0.2，

答：年平均增长率为 20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过 y 万辆，根据题意得：

2009 年底汽车数量为 14.4 × 90%+y， 2010 年底汽车数量为（ 14.4 × 90%+y）× 90%+y， ∴（ 14.4 ×90%+y） ×90%+y≤15.464， ∴y≤2． 答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆． 考点：一元二次方程 —增长率的问题

2．阅读下列材料 计算：（ 1﹣ ﹣ ）×（ + ）﹣（ 1﹣ ﹣ ）（ + ），令 + ＝ t，

则： 原式＝（ 1﹣ t ）（ t+ ）﹣（ 1﹣ t﹣ ）t ＝ t+ ﹣ t2﹣ +t 2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做 “换元法 ”，请用 “换元法 ”解决下列问题：

（1）计算：（ 1﹣ ﹣ ） ×（ + ）﹣（ 1﹣ ﹣ ） ×

（ + ） （ 2）因式分解：（ a2﹣ 5a+3）（ a2 ﹣5a+7） +4 （ 3）解方程：（ x2+4x+1）（ x2+4x+3）＝ 3

【答案】（ 1） ；（ 2）（ a2﹣ 5a+5） 2；（ 3） x ＝0， x ＝﹣ 4 ， x ＝x ＝﹣ 2 1 2 3 4

【解析】 【分析】

（1）仿照材料内容，令 + ＝ t 代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令 a2﹣5a＝ t 代入原式进行因式分解，最后要记得把 t 换为 a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2 +4x＝ t 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方 程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解． 【详解】

（1）令 + ＝ t，则：

原式＝（ 1﹣ t ）（ t+ ）﹣（ 1 ﹣t ﹣ ） t ＝ t+﹣ t2﹣ ﹣ t+t 2+ ＝

（2）令 a2﹣ 5a＝ t，则： 2 2 2 2 2 原式＝（ t+3）（ t+7） +4＝ t +7t+3t+21+4＝ t +10t+25＝（ t+5） ＝（ a ﹣ 5a+5）

（ 3）令 x2+4x＝ t ，则原方程转化为： （ t +1）（ t+3）＝ 3 2 t +4t+3＝ 3

t （ t+4）＝ 0 ∴ t 1＝ 0， t2＝﹣ 4 当 x2+4x＝ 0 时， x（ x+4）＝ 0 解得： x1＝ 0， x2＝﹣ 4 当 x2+4x＝﹣ 4 时，x2+4x+4＝ 0 （x+2） 2＝ 0 解得： x3＝ x4＝﹣ 2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

3．已知：关于 的方程

有两个不相等实数根 ．

（1） 用含 的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是 ， （其中

2 【答案】（ I） kx +（ 2k－ 3)x+k－ 3 = 0 是关于

），且 x 的一元二次方程． ，求 的值． ∴ 由求根公式，得

． ∴ 或

（II） ，∴ ． 而 ，∴ ， ．

由题意，有 ∴ 即 （﹡）

解之，得 经检验 是方程（﹡）的根，但 ，∴ 【解析】 （1）计算 △ =（ 2k-3） 2 -4k（ k-3）=9＞ 0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；

（2）有（ 1 ）可知方程的两根，再有条件 x1＞ x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即 可． 一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、 保护水资源，是科学发展观的重要体现 .依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措

施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元 .下图反映

了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系 .

请你解答下列问题：

4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、 五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出 的值 .

月份 用水量 （吨） 水费 （元）

四月 35 59.5

五月 80 151 【答案】 5．关于 x 的方程 (k－ 1)x2 +2kx+2=0 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根．

（2）设 x1， x2 是方程 (k－ 1)x2+2kx+2=0 的两个根，记 S= + + x1+x2， S 的值能为 2 吗？ 若能，求出此时 k 的值．若不能，请说明理由． 【答案】（ 1 ）详见解析；（ 2）S 的值能为 2，此时 k 的值为 2． 【解析】 试题分析：（ 1） 本题二次项系数为 (k－ 1)，可能为 0，可能不为 0，故要分情况讨论；要 保证一元二次方程总有实数根，就必须使 △ ＞ 0 恒成立；（ 2）欲求 k 的值，先把此代数式 变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（ 1） ① 当 k-1=0 即 k=1 时，方程为一元一次方程 2x=1,

x= 有一个解； ② 当 k-1≠0即 k≠1时，方程为一元二次方程， △ =（ 2k） 2-4 ×2（k-1） =4k2-8k＋ 8="4(k-1)" 2 ＋ 4＞ 0 方程有两不等根 综合 ①② 得不论 k 为何值，方程总有实根

（2）∵ x ?＋ x ?＝ ,x ? x ?=

∴S= + + x1+x

2

= =

= = =2k-2=2， 解得 k=2， ∴当 k=2 时， S 的值为 2 ∴S 的值能为 2，此时 k 的值为 2． 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．

6．观察下列一组方程： ① x2 x 0 ； ② x2 3x 2 0 ； ③x2 5x 6 0 ；

④ x2 7 x 12 0 ； 它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程

为 “连根一元二次方程 ”．

1 若 x 2 “ ” k 的值，并解这个一元二次方程； kx 56 0 也是 连根一元二次方程 ，写出

2 请写出第 n 个方程和它的根．

【答案】（ 1） x1＝ 7， x2＝ 8.（ 2） x1＝ n－ 1， x2 ＝ n. 【解析】 【分析】 （1）根据十字相乘的方法和 “连根一元二次方程 ”的定义 ,找到 56 是 7 与 8 的乘积 ,确定 k 值即可解题 ,（ 2）找到规律 ,十字相乘的方法即可求解 . 【详解】 解： (1)由题意可得 k＝－ 15，则原方程为 x2－15x＋ 56＝ 0，则 (x－ 7) ·(x－ 8)＝ 0，解得 x1＝

7，x2＝8. 2

(2)第 n 个方程为 x － (2n－ 1)x＋ n(n －1)＝ 0， (x－ n)(x－ n ＋1)＝ 0，解得 x1＝ n－ 1， x2＝ n.

本题考查了用因式分解法求解一元二次方程 ,与十字相乘联系密切 ,连根一元二次方程是特殊的十字相乘 ,中等难度 ,会用十字相乘解题是解题关键 .

7．已知关于 x 的一元二次方程 mx2 m 2 x m 0 .

4

（ 1）当 m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；

（ 2）当 m 4 时，求方程的解 .

【答案】（ 1）当 m 1且 m 0 时，方程有两个不相等的实数根；（ 2） x1 3 5 ，

4

x2 3 5 .

4 【解析】

【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根， ，代入求 m 取值范围即可，注意二次项系数 ≠0 ；

（2）将 m 4 代入原方程，求解即可 .

【详解】