一元二次方程单元培优测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 注意事项: 试卷编号:202008051733 1. 请在试卷规定时间内作答. 2. 请注意答题规范,书写规范.3. 请用0.5毫米黑色水笔把答案直接答在试卷上. 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 若0=+-c b a ,则关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 必有一根为 【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）22. 若关于x 的方程()22412+=-+-a x x a 中不含常数项,则a 的值是 【 】 （A ）1 （B ）3- （C ）3± （D ）1-3. 用配方法解方程0982=+-x x ,变形后的结果正确的是 【 】 （A ）()742=-x （B ）()742-=-x（C ）()2542=-x （D ）()2542-=-x4. 方程03522=--x x 的两根是 【 】（A ）2115±=x （B ）4295±=x （C ）2295±-=x （D ）4295±-=x5. 方程()()5221-=-+x x x 的根的情况是 【 】 （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有一个实数根 （D ）无实数根6. 对于任意实数x ,代数式1062+-x x 的值是一个 【 】 （A ）非负数 （B ）正数 （C ）负数 （D ）整数7. 若关于x 的一元二次方程0122=+-x mx 有两个实数根,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）m ≤1 （B ）m ≤1- （C ）m ≤1且0≠m （D ）m ≥1-且0≠m8. 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程01582=+-x x 的一个根,则此三角形的周长是 【 】（A ）16 （B ）12 （C ）14 （D ）12或169. 某商场销售一批运动休闲衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件休闲衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件.若商场销售该批休闲衫平均每天盈利2 100元,每件休闲衫应降价多少元?设每件休闲衫降价x 元,根据题意,可列方程为 【 】 （A ）()()210042045=-+x x （B ）()()210042045=--x x （C ）()()210020445=+-x x （D ）()()210042045=+-x x10. 定义:如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=+-c b a ,那么我们称这个方程为“美好”方程.如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程,则下列结论正确的是 【 】 （A ）方程有两个相等的实数根 （B ）方程有一根等于0 （C ）方程两根之和等于0 （D ）方程两根之积等于0 二、填空题（每小题3分,共15分）11. 一元二次方程()112-=-x x x 的解为_____________.12. 若m 是关于x 的方程01322=--x x 的一个根,则=+-7962m m __________.13. 已知等腰三角形的两边长恰好是关于x 方程01892=+-x x 的解,则此等腰三角形的周长是__________.14. 代数式522-+x x 的最小值是__________.15. 元旦晚会,全班同学互赠贺卡,若每两个同学都相互赠送一张贺卡,小明统计全班共送了1560张贺卡,那么全班有多少人?设全班有x 人,则根据题意可列方程为__________________. 三、解答题（共75分）16.解方程:（每小题5分,共10分）（1）01662=-+x x ; （2）01422=-+-x x .17.（9分）小明同学解一元二次方程0162=--x x 的过程如下: 解:162=-x x ,①1962=+-x x ,②()132=-x ,③13±=-x ,④ 2,421==x x .⑤（1）小明解方程的方法是【 】（A ）直接开平方法 （B ）因式分解法 （C ）配方法 （D ）公式法 他的求解过程从第__________步开始出现错误; （2）解这个方程.18.（9分）已知关于x 的一元二次方程()()243m x x =--. （1）求证:对于任意实数m ,方程总有两个不相等的实数根; （2）若方程的一个根是2,求m 的值及方程的另一个根.19.（9分）有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人; （2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被感染?20.（9分）（1）已知关于x 的方程()01412=++-x x k . 问题1: 当k __________时,此方程是一元二次方程;问题2: 当5=k 时,方程()01412=++-x x k 的根的情况是【 】 （A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）无实数根 （D ）无法确定 问题3: 当k __________时,此方程有两个不相等的实数根; 问题4: 当k __________时,此方程没有实数根;（2）证明:对于任意实数k ,关于x 的一元二次方程022=-+k x x 总有两个不相等的实数根.21.（9分）某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元,为了扩大销量,尽快减少库存,超市准备适当降价,据测算,若每箱降价2元,则每天可多售出4箱. （1）如果要使每天销售该饮料获利14 000元,则每箱应降价多少元?（2）每天销售该饮料获利能达到14 500元吗?若能,则每箱应降价多少?若不能,请说明理由.22.（9分）已知关于x 的方程01222=-++k kx x . （1）试说明无论k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; （2）如果方程有一个根为3,试求代数式20191222++k k 的值.23.（11分）材料:解形如()()c b x a x =+++44的一元四次方程时,可以先求常数a 和b 的均值2ba +,然后设2b a x y ++=.再把原方程换元求解,用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项,使方程转化成易于求解的双二次方程,这种方法叫做“均值换元法”. 例:解方程:()()13244=-+-x x .解:因为2-和3-的均值为25-,所以设25-=x y ,原方程可化为1212144=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y .整理得:141412222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++y y y y ,即0873224=-+y y ,解之得412=y 或472-=y （舍去）,所以21±=y ,即2125±=-x ,所以3=x 或2=x . （1）用阅读材料中的方法解关于x 的方程()()11305344=+++x x 时,先求两个常数的均值为__________,设+=x y __________,原方程转化为()()1130____________44=++-y y ;（2）用这种方法解方程:()()7063144=+++x x .一元二次方程单元培优测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 1,2121==x x 12. 10 13. 15 14. 6- 15. ()15601=-x x 三、解答题（共75分）16.解方程:（每小题5分,共10分） （1）01662=-+x x ; 解:1662=+x x25962=++x x()2532=+x∴53=+x 或53-=+x ∴8,221-==x x ; （2）01422=-+-x x . 解:01422=+-x x()81244422=⨯⨯--=-ac b∴2224224484±=±=±=x ∴222,22221-=+=x x . 17.（9分）小明同学解一元二次方程0162=--x x 的过程如下:解:162=-x x ,①1962=+-x x ,②()132=-x ,③13±=-x ,④ 2,421==x x .⑤（1）小明解方程的方法是【 】（A ）直接开平方法 （B ）因式分解法 （C ）配方法 （D ）公式法 他的求解过程从第__________步开始出现错误;（2）解这个方程. 解:（1）C,②;……………………………………………4分 （2）0162=--x x162=-x x10962=+-x x()1032=-x∴103=-x 或103-=-x ∴103,10321-=+=x x .……………………………………………9分 18.（9分）已知关于x 的一元二次方程()()243m x x =--.（1）求证:对于任意实数m ,方程总有两个不相等的实数根;（2）若方程的一个根是2,求m 的值及方程的另一个根.（1）证明:()()243m x x =-- 整理得:012722=-+-m x x ∴()()221247m ---=∆244849m +-= 241m += ∵2m ≥0∴0412>+m ,即0>∆∴对于任意实数m ,方程总有两个不相等的实数根;……………………………………………4分 （2）解:把2=x 代入原方程得:22=m解之得:2±=m .……………………………………………6分 ∴()()243=--x x 整理得:01072=+-x x 解之得:5,221==x x ∴方程的另一个根为5.……………………………………………9分 19.（9分）有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人;（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被感染?解:（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 人,由题意可列方程得:()3611=+++x x x整理得:03522=-+x x 解之得:7,521-==x x （舍去） 答:每轮传染中平均一个人传染了5个人; ……………………………………………6分 （2）180536=⨯（人） 答:第三轮将又有180人被感染.……………………………………………9分 20.（9分）（1）已知关于x 的方程()01412=++-x x k .问题1: 当k __________时,此方程是一元二次方程; 问题2:当5=k 时,方程()01412=++-x x k 的根的情况是 【 】 （A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）无实数根（D ）无法确定问题3: 当k __________时,此方程有两个不相等的实数根;问题4: 当k __________时,此方程没有实数根;（2）证明:对于任意实数k ,关于x 的一元二次方程022=-+k x x 总有两个不相等的实数根.解:（1）问题1: 1≠;……………………………………………1分 问题2: 【 B 】;……………………………………………2分 提示:当5=k 时,原方程为:01442=++x x0161614442=-=⨯⨯-=∆∴方程有两个相等的实数根. ∴选择答案【 B 】. 问题3: 5<k 且1≠k ;……………………………………………4分 提示:∵此方程有两个不相等的实数根 ∴0>∆∴()01442>--k 解之得:5<k∵该方程为一元二次方程 ∴01≠-k ,解之得:1≠k ∴5<k 且1≠k . 问题4: 5>k ;……………………………………………6分 提示:显然,当01=-k ,即1=k 时,方程有一个实数根为41-=x ,不符合题意; 当1≠k 时,原方程为一元二次方程 ∵此方程没有实数根 ∴0<∆∴()01442<--k 解之得:5>k综上所述,当5>k 时,此方程没有实数根. （2）证明:2224141k k +=+=∆ ∵2k ≥0∴0412>+k ,即0>∆∴对于任意实数k ,方程022=-+k x x 总有两个不相等的实数根.……………………………………………9分 21.（9分）某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元,为了扩大销量,尽快减少库存,超市准备适当降价,据测算,若每箱降价2元,则每天可多售出4箱. （1）如果要使每天销售该饮料获利14 000元,则每箱应降价多少元?（2）每天销售该饮料获利能达到14 500元吗?若能,则每箱应降价多少?若不能,请说明理由.解:（1）设每箱应降价x 元,由题意可列方程得:()()140002100120=+-x x整理得:01000702=+-x x 解之得:50,2021==x x……………………………………………3分 ∵为了扩大销量,尽快减少库存 ∴50=x答:每箱应降价50元;……………………………………………5分 （2）由题意可得:()()145002100120=+-x x整理得:01250702=+-x x∵()0100125014702<-=⨯⨯--=∆∴方程没有实数根.答:该超市每天销售该饮料获利不能达到14500元.……………………………………………9分 22.（9分）已知关于x 的方程01222=-++k kx x .（1）试说明无论k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;（2）如果方程有一个根为3,试求代数式20191222++k k 的值.（1）证明:()()14222--=∆k k04>=∴无论k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;……………………………………………4分 （2）解:把3=x 代入原方程得:01692=-++k k∴862-=+k k……………………………………………6分 ∴20191222++k k()()2019822019622+-⨯=++=k k2003=.……………………………………………9分 23.（11分） 解:（1）4 , 4 , 1 , 1 ;……………………………………………4分 （2）设2+=x y……………………………………………7分 则原方程化为:()()7061144=++-y y……………………………………………8分 ∴()()70612122222=++++-y y y y展开并整理得:070412224=-+y y解之得:162=y 或222-=y （舍去） ∴4±=y∴42=+x 或42-=+x 解之得:6,221-==x x 即原方程的解为6,221-==x x .…………………………………………11分。