猜想 有特解 y erx
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
特征方程
由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是
微分方程的解特征方程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，
若y1、y2线性无关, 则 y C1y1 C2 y2 方程（1）的 通解.
由此可知知，欲求齐次线性方程（１）的通解,只须求 出它的两个线阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子
解得 r1 = - 1， r2 = 3, 所 以 方 程 的 通 解 为 y C1e x C2e3x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i ,
故所求通解为 y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x).
第四节 二阶常系数线性齐次微分方程
一、二阶常系数线性齐次微分方 程解的结构
二、二阶常系数线性齐次微分方程的 解法
定义
形如 y p( x) y q( x) y f ( x) 的微分方程称为二阶
线性微分方程，其中 p( x), q( x), f ( x) 为自变量 x 的连
续函数。 当 f (x) 0 称为二阶线性齐次微分方程.
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y eax (C1 cos bx C2 sin bx)
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
当 f ( x) 0 称为二阶线性非齐次微分方程.
y + py + qy = 0 为二阶常系数线性齐次方程
一、二阶常系数线性齐次微分方程解 的结构
1、函数的线性相关与无关
设函数
y1( x),
y2 ( x)
满足
y1 y2
常数 ，则称
y1( x),
y2 ( x) 线性无关，否则，称线性相关。
例 y1 x, y2 2x 线性相关； y1 e x , y2 2x 线性无关.
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1
1 2
( y1
y2 )
ea x cos b x
y2
1 2i
( y1
y2)
ea
x
sin
b
x
原方程的通解为 y eax (C1 cosbx C2 sinbx).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0,
例 3 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解
特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，
解得 r1 = r2 = 2,
所以通解为 y （C1 C2 x)e2x ,
求得 y C2e2x 2(C1 C2 x)e2x . 将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，
二阶常系数线性齐次微分方程
y + py + qy = 0 （1 ） 2、二阶常系数线性齐次微分方程解的结构
定理 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程（1 ） 的两个解，则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 其中 C1， C2 是任意常数. 问题:y C1y1 C2 y2一定是通解吗？满足什么条件就是通解？
y C1erx C2 xerx (C1 C2 x)erx .
3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib
这时原方程有两个复数解:
y1 e(a i b ) x ea x (cos b x i sin b x ) y2 e(a i b ) x ea x (cos b x i sin b x )
因此，所求特解为 y = (1 + 2x)e2x.
小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根;
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
通解的表达式
实根r1 r2
实根r1 r2
复根r1,2 a ib
y1 e r1x , y2 e r2x , 两个线性无关的特解
原方程的通解为 y C1er1x C2er2x ; 2 特征方程具有两个相等的实根，即r1 = r2 = r. 得到方程的一个特解 y1 = erx. 还可得到方程 且与 y1 = erx 线性无关的特解 y2 = xerx.
原方程的通解为