必修４第二章平面向量教学质量检测
一.选择题（5分×12=６0分）：
1.以下说法错误的是( ）
A.零向量与任一非零向量平行
B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为AD 的是（ )
A.；）＋＋（BC CD AB
B.）；＋）＋（＋（CM BC M B AD
C.M
D.
3．已知＝（3，4)，=（５,12），与 则夹角的余弦为（ ）
A ．
65
63
Ｂ．65 Ｃ.
513 Ｄ.13
4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为６０°,那么｜a + 3b | ＝( )
Ａ.7
B ．10
C.13
D.4
5．已知ABCDEF 是正六边形,且−→
−AB ＝→
a ，−→
−AE ＝→b ，则−→
−BC ＝（ ）
（A)
)(2
1
→→-b a （B) )(2
1
→→-a b （Ｃ) →a ＋→b 2
1 （D) )(2
1→
→+b a
6.设→
a ，→
b 为不共线向量，−→−AB ＝→a ＋2→b ,−→−BC =-4→a -→b ,−→
−CD ＝ -5→a －3→
b ,则下列关系式中正确的是 ( ）
（A ）−→−AD =−→−BC (B ）−→−AD =2−→−BC （C)−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→
−BC 7.设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e ＋→2e 与→1e +k →
2e 共线,则k 的值是( ）
（Ａ) 1 （B ） -1 (Ｃ） 1± (D) 任意不为零的实数 ８．在四边形ＡＢＣD 中，−→−AB =−→−DC ,且−→−AC ·−→
−BD =0,则四边形ABCD 是（ )
（A) 矩形 （B) 菱形 （C ） 直角梯形 （D) 等腰梯形
9．已知M （-2,７）、N(1０，－２）,点P 是线段MN 上的点,且−→
−PN ＝－２−→
−PM ，则P 点的坐标为（ ）
（A ） （－1４，16）（Ｂ) (22，－１1）（Ｃ） (6，1） （D ） (2，4）
10.已知→
a ＝（1，2)，→
b =(-2,３），且ｋ→
a +→
b 与→
a －k →
b 垂直，则k ＝( )
(A) 21±
-（Ｂ) 12±(Ｃ） 32±(D) 23±
１1、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ )
A. 2-或0; B ． 25; Ｃ. 2或25; D ． 2或10.
12、下面给出的关系式中正确的个数是( )
① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅
（A) 0 (B) 1 (Ｃ) 2 (D ） ３
二. 填空题(5分×５=25分)：
13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－2，－1）,则B 点的坐标为 ． 14.已知(3,4),(2,3)=-=a b ,则2||3-⋅=a a b ．
１5、已知向量)2,1(,3==b a
,且b a ⊥,则a 的坐标是_＿_______________。
16、ΔABC 中,A （１,２)，Ｂ（3,1),重心G(３,2),则C 点坐标为＿__＿_____＿__＿_＿＿。
17.如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×ｂ是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|ｓin θ，如果| |=４, ｜ｂ|=3, ·ｂ=-2，则| ×b ｜＝_____＿_＿____。
１８、（１4分)设平面三点A （1,0),B(０，１），C(2，５)． （1)试求向量2AB ＋AC 的模； (２)试求向量AB 与AC 的夹角； (3)试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
１9.（12分)已知向量
=
, 求向量ｂ,使|b|=2|
｜,并且
与ｂ的夹角为。
2０. (1３分)已知平面向量).2
3
,
21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和ｔ,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且
(1)试求函数关系式k ＝f （t ）
(2)求使f （t )＞0的t 的取值范围.
21．(１3分)如图, =（6,1),,且。
(1)求ｘ与y间的关系; (2)若，求x与y的值及四边形AＢCD的面积。
２２.（13分）已知向量a、ｂ是两个非零向量,当a+t b（t∈Ｒ）的模取最小值时，（1）求ｔ的值
（２）已知a、b共线同向时，求证b与a+t b垂直
参考答案
一、
选择题:1Ｃ、2C 、３A 、4Ｃ、5D 、6B 、7C 、8B 、９D 、10A 、1１C 、12C 、
二. 填空题(5分×5=25分)：
13 （1,3) .14 28 １ 5 ( ， )或（ ，
) １6 (5，3) 1７ 235 三. 解答题（65分):
18、 (1)∵ AB ＝(０－１,１-０)＝（－1，1），AC =（２－1,5-０)=(1,5）． ∴ 2AB +AC ＝2(-1，1)＋(1,5）=(－1,7）. ∴ ｜2AB ＋AC |=227)1(+-=50．
（２）∵ ｜AB |＝2
21)1(+-=2．|AC |＝2251+=26,
AB ·AC =（－１)×1+1×５＝4.
∴ c ｏs θ ＝
|
|||AC AB AC AB ⋅=
26
24⋅=
13
13
2. (3)设所求向量为m ＝(ｘ，y ），则x2+y2=１. ①
又 BC ＝（２－0，５-1）=(2，4）,由BC ⊥m ，得2 x ＋4 ｙ ＝0． ②
由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==．
－555
5
2y x ∴ （552,－55）或（－552,55)
即为所求.
19.由题设
, 设 b ＝
， 则由
，得
. ∴
, ﻫ
解得 ｓin α=1或 。
ﻫ 当si ｎα＝1时，cos α＝0;当 时，
556-5535565
53-。
故所求的向量
或。
ﻫ20.解：
（1)
.0)(])3[(.0,2
=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).
3(41
,0)3(4,1,4,0222
2
-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即
（2)由ｆ（ｔ)>0，得.303,0)3()3(,0)3(412
><<-->+>-t t t t t t t 或则即 2１．解：(1)∵
，
∴ 由
，得ｘ(ｙ-2)=ｙ（4+x), x ＋2y=0. ﻫ (2） 由
=（6+x, 1+y),。
ﻫ ∵
, ∴（6+x ）(x-２)+(1+ｙ）(y-3)＝0, 又x+2y=0, ∴
或 ﻫ ∴当 时，
， ﻫ 当 时，。
ﻫ 故
同向,
２2.解:（1）由2
2
2
2
||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos |||
||
|222
-=⋅-
=时a+ｔb(t ∈Ｒ)的模取最小值 (2）当a 、ｂ共线同向时，则0=α,此时|
||
|b a t -
= ∴0||||||||||||)(2
=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥（a +t b ）。