专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关【典例分析】【例1——最值存在性问题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）当m时，S△PAC最大.【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2，∴当m时，S△PAC最大.【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当m时，S最大.【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）S有最大值．如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物的顶点坐标为M（1，4），把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，∴y＝﹣2x+6，∵D（m，0），∴P（m，﹣2m+6）；由S△PCD PD•OD，得S m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m；∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，∴1≤m＜3，∴S不存在最小值；∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，∴当m时，S最大，∴S的最大值为．【练2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当x为多少时，线段PQ长度有最值。

【答案】（1）y＝x2﹣5x+4（2）当x＝2时，PQ的最大值为4【解析】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4【练3】如图，直线y x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y x2+bx+c 经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．【答案】（1）（2）△ABM的面积的最大值；【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线，∴解得，∴抛物线的函数解析式为：；（2）∵M是x轴的下方的抛物线上一动点，且△ABM的面积最大，∴点M为抛物线的顶点，∴M（﹣1，﹣2），∴△ABM的面积的最大值；【例2——二次函数中等腰三角形存在性问题】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2）m的值为﹣3，﹣4，﹣5【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），∵∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，∴﹣m2﹣5m m，解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【练1】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y＝x2（2）P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；【解析】解：(1)把A(2，t)代入y＝2x中，得t＝4，∴A(2，4)，把A(2，4)代入y＝ax2中，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2；(2)设P点的坐标为(m，0)，当OA＝OP时，有m2＝22＋42，解得，m＝25，或m＝－25，∴此时P点的坐标为P(－25，0)，(25，0)；当OA＝PA时，有(m－2)2＋42＝22＋42，解得，m＝0(舍)，或m＝4，∴此时P点坐标为(4，0)，综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；【练2】如图，直线y x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）B（4，0），C（0，2）．（2）y（x﹣4）（x+1）x2x+2．（3）存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【解析】解：（1）对直线y x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，2）．（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：a（0﹣4）（0+1）＝2，解得：a，∴y（x﹣4）（x+1）x2x+2．（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴对称轴为x，∴D（，0），∵C（0，2），∴CD，①如图1，当CD＝PD时，PD，∴P1（），P2（），②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，∵CD＝CP3，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴P3H＝2，∴P3D＝4，∴P3（，4），综上所述：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【练3】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2）点D不在抛物线上；（3）m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△DBH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴点D不在抛物线上；（3）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，∴﹣m2﹣5m m，解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【例3——二次函数中直角三角形存在性问题】如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．【解析】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（2）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，∴有两种情况：①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠OBC＝45°．∵P1C⊥BC，∴∠DCB＝90°，∴∠DCO＝45°，又∵∠DOC＝90°，∴∠ODC＝45°＝∠DCO，∴OD＝OC＝3，∴D（﹣3，0），∴直线P1C的解析式为y＝x+3，联立，解得或（舍）；∴P1（1，4）；②点B为直角顶点，如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，∴P1C∥BP2，∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，将B（3，0）代入，得0＝3+b，∴b＝﹣3，∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，联立，解得或（舍），∴P2（﹣2，﹣5）．综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，设点Q（﹣1，n），则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC为直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②当∠ACQ ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AC 2＝AQ 2， ∴n 2﹣6n +10+18＝n 2+4， 解得：n ＝4， ∴Q 2（﹣1，4）；③当∠AQC ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AQ 2＝AC 2， ∴n 2﹣6n +10+n 2+4＝18， 解得：n 1，n 2，∴Q 3（﹣1，），Q 4（﹣1，）；综上所述，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【练2】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y 轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点P 在直线BC 下方的抛物线上，点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫3，－154作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝14x 2－x －3；（2）当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝⎛⎭⎫3，－352－32或⎝⎛⎭⎫3，352－32.【解析】解：(1)将点A(－2，0)、B(6，0)、C(0，－3)代入y ＝ax 1＋bx ＋c ， 得{4a －2b ＋c ＝0，36a ＋6b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝14，b ＝－1，c ＝－3，∴y ＝14x 2－x －3；(2)∵P ⎝⎛⎭⎫3，－154，D 点在l 上， 如图2，当∠CBD ＝90°时，过点B 作BH ⊥x 轴，过点D 作DGH ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作DG ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，∴∠DBG ＋∠GDB ＝90°，∠DBG ＋∠CBH ＝90°， ∴∠GDB ＝∠CBH ， ∴△DBG ∽△BCH ， ∴DG BH ＝BG CH ，即33＝BG6， ∴BG ＝6，∴D(3，6)； 如图3，当∠BCD ＝90°， 过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，∵∠KCD ＋∠OCB ＝90°，∠KCD ＋∠CDK ＝90°， ∴∠CDK ＝∠OCB ， ∴△OBC ∽△KCD ， ∴OB KC ＝OC KD ，即6KC ＝33， ∴KC ＝6，∴D(3，－9)； 如图4，当∠BDC ＝90°时，线段BC 的中点T ⎝⎛⎭⎫3，－32，BC ＝35， 设D(3，m)，∵DT ＝12BC ，∴|m ＋32|＝352，∴m ＝352－32或m ＝－352－32， ∴D ⎝⎛⎭⎫3，352－32或D ⎝⎛⎭⎫3，－352－32； 综上所述：当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝⎛⎭⎫3，－352－32或⎝⎛⎭⎫3，352－32.【练3】如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B （3，0）．C （0，3），点M 是抛物线的顶点．点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，若OD ＝m ． （1）求二次函数解析式；（2）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3． （2）点P 的坐标为（，3）或（，）．【解析】解：（1）把B （3，0）、C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．若∠DPC＝90°，如图2，则PC∥x轴，∴P（m，3），且在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2m+6＝3，解得m，∴P（，3）；若∠PCD＝90°，如图3，则PC2+CD2＝PD2，∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝（，m2（不符合题意，舍去）；∴P（，）；若∠PDC＝90°，则CD2+PD2＝PC2，∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去．综上所述，点P 的坐标为（，3）或（，）．【例4——二次函数中全等或相似三角形存在性问题】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)x 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D. (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝－x 2－2x ＋3；（2）点P 的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).【解析】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(1，0)，B(－3，0)， ∴{a ＋b ＋3＝0，9a －3b ＋3＝0， 解得{a ＝－1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3； (2)令x ＝0，y ＝3，∴OC＝OB ＝3，即△OBC 是等腰直角三角形， ∵抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3， ∴抛物线对称轴为：x ＝－1， ∵EN∥y 轴， ∴△BEN∽△BCO， ∴BN BO ＝ENCO ， ∴23＝BN 3， ∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如图所示，∴∠PEH＝45°，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标(x，－x－1＋2)，∴代入关系式得，－x－1＋2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋x－2＝0，解得，x1＝－2，x2＝1(舍)，∴点P坐标为(－2，3)，②若△PEQ∽△CBO，如图所示，设P(x，2)，代入关系式得，2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋2x－1＝0，解得，x1＝－1－2，x2＝－1＋3(舍)，∴点P的坐标为(－1－2，2)综上所述点P的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).【练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【答案】（1）解析式：y ＝－x 2＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，254.（2）当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605128.【解析】解：(1)解析式：y ＝－x 2＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，254.(2)由B 、C 两点坐标易求直线BC 解析式：y ＝－x ＋4，不难得出∠CPQ＝∠BCO＝∠OBC，即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ＝∠ABC. 接下来求角两边对应成比例：表示点：设P 点坐标为(0<m<4)，则Q 点坐标为(m ，－m 2＋3m ＋4)， 表示线段：PC ＝2m ，PQ ＝－m 2＋4m. 如图所示，分类讨论情况一：当△CPQ∽△ABC 时，则CP AB ＝PQBC，代入得：2m 5＝－m 2＋4m 42，解得：m 1＝125，m 2＝0(舍)，对应P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，85，PQ ＝9625， S △PCQ ＝12×125×9625＝576125情况二：当△CPQ∽△CBA 时，则CP CB ＝PQBA，代入得：2m42＝－m 2＋4m 5，解得：m 3＝114，m 4＝0(舍)，对应P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫114，54，PQ ＝5516，S △PCQ ＝12×114×5516＝605128. 综上所述，当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605128.【练2】如图，抛物线y ＝3＋36x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝3CD.(1)求b ，C 的值；(2)求直线BD 的函数解析式；(3)点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【答案】（1）b ＝－3＋33，c （2）y ＝－33＋ 3 （3）【解析】解：(1)∵OB＝3OA ＝3，∴B(3，0)，A(－1，0)．∴{ 3＋36−b ＋c =03＋36×9＋3b ＋c =0 解得：b ＝－3＋33，c ＝－3＋32(2)如图，过点D 作DE⊥y 轴于E ，∵∠ECD＝∠BCO，∠DEC＝∠BOC＝90°∴△CDE∽△CBO∴CD BC ＝DE OB ∴13＝DE 3，DE ＝ 3 即D 点横坐标为－3，其坐标为D(－3，3＋1)由B(3，0)得直线BD 解析式为：y ＝－33＋ 3 (3)由A(－1，0)，B(3，0)，D(－3，3＋1)，知 S △ABD ＝2(3＋1)，BD ＝2(3＋1)，AD ＝2 2如图，过点A 作AH⊥BD 于H ，∴AH＝2，DH ＝2，∴tan∠ADB＝1，tan∠ABD＝33， tan∠DAM＝2＋ 3 设Q(x ，0)，P(1，m)，其中m<0，x<3，①当△ABD ∽△BPQ 时，∠DAB ＝∠QBP(由题意知∠QBP<90°，∠DAB>90°，不存在)②当△ABD ∽△BQP 时，同理，此种情况不存在；③当△ABD∽△QBP 时，tan∠ADB＝tan∠QPB＝1，tan∠ABD＝ tan∠QBP＝33， tan∠PQO＝tan∠DAM＝2＋3， ∴－m 2＝33，即m ＝233，－m x －1＝2＋3，x ＝43－33即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－33，0 ④当△ABD∽△QPB 时，同理，∴－m 2＝1，即m ＝－2，－m x －1＝2＋3， x ＝5－23即Q(5－23，0)⑤当△ABD∽△PQB 时，同理，∴－m 2＝1，即m ＝－2，－m x －1，＝33， x ＝1－2 3即Q(5－23，0) ⑥当△ABD∽△PBQ 时，同理，∴－m 2＝33，即m ＝233，－m 1－x ＝1，x ＝1－233即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. 综上所述：当△ABD 与△BPQ 相似时，点Q 的坐标为：Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－33，0、Q(5－23，0)或Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.【练3】如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BD 、CD ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为s.试求出s 与m 的最大值；(3)如图2，设AB 的中点为E ，作DF⊥BC，垂足为F ，连接CD 、CE ，是否存在点D ，使得以C ，D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝－x 2＋2x ＋3.（2）S 与m 的函数关系式为S ＝－32m 2＋92m ，s 的最大值为278. （3）点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，74或⎝⎛⎭⎫32，154.【解析】解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)， ∴y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)如图，过点D 作DM ∥y 轴，交BC 于点M.∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，∴c(0，3)．∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋3.∴D(m ，－m 2＋2m ＋3)，M(m ，－m ＋3)．∴DM ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m.∴S ＝S △DMB ＋S △DMC ＝12×MD(x B －x D )＋12(x M －x C )＝12OB·DM ＝32m 2＋92m ＝－32⎝⎛⎭⎫m －322＋278(0＜m ＜3)，∴S 与m 的函数关系式为S ＝－32m 2＋92m ，s 的最大值为278. (3)存在点D ，使得以C ，D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似如图，连接BD设点D 的横坐标为m ，∵点EAB 中点，A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)∴E(1，0)，OE ＝1，OC ＝3，CD 2＝m 2＋(－m 2＋2m ＋3－3)2∴CE ＝OE 2＋OC 2＝12＋32＝10.∴sin ∠OCE ＝OE CE ＝110＝1010，cos ∠OCE ＝OC CE ＝310＝31010. ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝32，DF ⊥BC.∴由(2)知，面积S ＝12BC·DF ＝－32m 2＋92m. ∴DF ＝2S BC ＝－3m 2＋9m 32＝－m 2＋m32∵以C 、D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似，∠CFD ＝∠COE ＝90° ∴△CFD ∽△COE 或△CFD ∽△EOC①若△CFD ∽△COE ，则∠FCD ＝∠OCE∴sin ∠FCD ＝DF CD ＝1010∴10DF 2＝CD 2∴10⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋3m 22＝m 2＋(－m 2＋2m)2. 解得：m 1＝4(舍去)，m 2＝52. ∴－m 2＋2m ＋3＝－254＋5＋3＝74. ∴D ⎝⎛⎭⎫52，74.②若△CFD ∽△EOC ，则∠FDC ＝∠OCE ， ∴cos ∠FDC ＝DF CD ＝31010. ∴10DF 2＝9CD 2.∴10⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋3m 2＝9[m 2＋(－m 2＋2m)2]解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝32. ∴－m 2＋2m ＋3＝－94＋3＋3＝154. ∴D ⎝⎛⎭⎫32，154.∴综上所述：点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，74或⎝⎛⎭⎫32，154.。