正方形存在性问题巩固练习（基础）1.如图，在直角梯形乂8CQ中，, JD=24厘米，厘米，8C=30厘米，动点尸从,4开始沿乂。

边向D以每秒1厘米的速度运动，动点。

从点C开始沿CB边向3以每秒3厘米的速度运动，尸，。

分别从点工、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为，秒.（7）当r在什么时间范围时，CQ>PD?（2）存在某一时刻f,使四边形a产@是正方形吗？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由.【解答】3）当SVfWJO时，CQ>PDx（2）不存在【解析】3）•••CQ=3f, 24 7,，由C0>尸。

有3>24-f,解得又。

尸、。

点的运动时间只能是30+3=10 （s）,：.6<W10.即当6VfWI0 时，CQ>PD.（2）若四边形是正方形，则,〃>=乂3且3。

=,始，••JXr=8 且30-3r=8,显然无解，即不存在，的值使得四边形.小。

是正方形.2.如图，在矩形X3CZ）中，X8=16c〃，，3=如〃,动点尸、。

分别从工、C同时出发，点尸以每秒3CM 的速度向8移动，一直达到8止，点。

以每秒2s〃的速度向。

移动.3）产、。

两点出发后多少秒时，四边形P8C。

的面积为36“/?（2）是否存在某一时刻，使P8C。

为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由.A D【解答】3）产、。

两点出发后4秒时，四边形尸BC。

的面积为36s/；（2）不存在【解析】3）设尸、。

两点出发f秒时，四边形尸BC0的而积为36c〃上由矩形得NB=NC=90° , XB〃CD,所以四边形尸B C。

为直角梯形，故S ^-PBCQ=；（CO+PB ）*BC.又S ^-PBCQ=36,所以9（2t+16- 3t>6=36,解得r=4（秒）；（2）不存在.因为要使四边形产BC0为正方形，则尸3=BC=C0=6,所以P点运动的时间为电U 二¥秒，Q点运动的时间是3秒，J O尸、。

的时间不一样，所以不存在该时刻.3.如图，正比例函数y = ax与反比例函数y= A （x>0）的图象交于点时（通,/）J（7）求这两个函数的表达式：（2）如图，若NAMB=90° ,且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点,4、8.求四边形。

外四的面积. （3）如图2,点尸是反比例函数歹=& （£>0）的图象上一点，过点尸作x轴、y轴的垂线，垂足分别为£x F，尸尸交直线。

呸于点H，过作x轴的垂线，垂足为G.设点尸的横坐标为机，当血>通时，是否存在点尸，使得四边形尸EG〃为正方形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.Z?【解答】3)y=x, y=_；(2) 6； (3) P (2/,收)【解析】3）将点分别代入与v=上得:=a\/Z6，解得:a = l, k=6,.••这两个函数的表达式分别为：y=x, y=^.（2）如图，过点M分别做,x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D.则, /AMC= NBMD=90' - ZAMD. MC=AfD= ,:AlMgABMD,•、S，边形0cM D=S 边形。

4M8=6.（3）设P 点坐标为G,-）,则PE=HG=GE=9, OE=X,x x•：4MOE=45° ,：.OG=GH=-, x：.OE=OG+GH= —.解得、=2遍，••.尸点坐标为（2代,避）.4.如图，在平而直角坐标系中且,4 （-1, 0）, B（0, 2）抛物线y=aS+ax - 2经过点C.（7）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点尸、Q,使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、0 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】3) y=1一+ 1x-2： (2) P (2, 1)、O(1, - 7)【解析】3)由得。

=2+1 = 3, CD=1・・・C点坐标为(-3, 7),・•・抛物线经过点C：.l=a( -3)、( -3) -2, ._ 1••。

一"・••抛物线的解析式为Jx-2：（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点尸、。

，使四边形,空尸。

是正方形.以33为边在月8的右侧作正方形乂8尸。

过尸作PE_L03于E, 0G，x轴于G,可证△2班•乌：.PE=AG=B0=2, BE=QG=AO=1,・•・尸点坐标为（2, 1）, Q点坐标为a, -n.由（1）抛物线、=，/+ [x - 2,当x=2时，y=1；当x=1时，y=・1:.p.。

在抛物线上.故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点尸（2, 1）. O （A -1）,使四边形.如。

是正方形. 5.已知：〃，&是方程/+2「24=0的两个实数根，且门72,抛物线+以+c 的图象经过点H （〃， 0）, B （0, &）.（7）求这个抛物线的解析式：（2）设点产G, y ）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OE40是以0.4为对角线的平行四边形， 求平行四边形。

融。

的而积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当平行四边形。

以。

的面积为24时，是否存在这样的点尸，使平行四边形。

用。

为正方形？若存在，求出产点坐标：若不存在，说明理由.o y' ■BA 0 kp【解答】⑺y=鼠2+4升央(2) S= -4 (x+，？+25 ( - 6<x< - 7)； (?)不存在【解析】3)/+2f-24=0, (f+d) (f-4) =0, ・ 6, t2=4，乂 < - 6, 0), B (0. 4);抛物线产看/+云+c 经过$8两点."=•!/+4 v +4 J M（2） ;点尸（x, y ）在抛物线上，位于第三象限,又,：S=2S ：APO =2X ；：.S= - 6y 24-66 + c = 0' 解得 ,14 6=T ,c = 4«5 o=-4 (S+Zx+6)•••抛物线与无轴的交点坐标为（-6, 0）, （ -1, 0）, •••X 的取值范围为YVxV-L（3）当 S=24 时，得 24=-4 （什］）?+25,解得：x 尸-3, X2- - 4代入解析式得：yi= - 4，y2= - 4.，点尸的坐标为（-3, -4）, （-4, -4）当点尸为（-3, -4）时，满足尸O=EL 此时，平行四边形。

目0是菱形.当点尸为（-4, -4）时，不满足尸。

=EL 此时，平行四边形。

口。

不是菱形.而要使平行四边形。

口。

为正方形，那么，一定有Od_LP 。

，乂。

=产。

，此时，点尸的坐标为（-3, -3）,而（-3, -3）不在抛物线尸 焉1+?/4上， J J故不存在这样的点尸，使四边形。

口。

为正方形.6.如图，抛物线y=-a/+6x+5过点（1, 2）、（4, 5）,交y 轴于点8,直线,43经过抛物线顶点$交、 轴于点C,请解答下列问题：（7）求抛物线的解析式：（2）点。

在平面内，在第一象限内是否存在点P ，使以,4, B, P,。

为顶点的四边形是正方形？若存在, 直接写出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.【解答】3)y=--4x+5： (2) P (6, 3)或(4, 7)【解析】3) :抛物线y=-。

/+&+5过点(1, 2)、(4, 5),一解得Ir ；令y=0时,2 <14 A 门 尸+丁、+4=0,-16a + 46+ 5 = 5 [6 = -4・ ••抛物线解析式为- 4x+5：(2)在y=/-4x+5 中，令 x=0 可得y=5,：.B (0, 5),・ •?=1-4升5= (x-2) 2+1,：.A (2,，)，・ ,. AB = ^22+ (1-5) 2 = 2巡,2 〃 -4- 7? = 1( k - 7 ,解得《一 n = o I n・•・直线，曲解析式为y= - 2x+5, ①当时,如图，可设直线ET 解析式为）u4x+m,把乂（2, 1）代入可得"冶=1,解得加=优•••宜线E4解析式为y= Jx,，可设点尸坐标为G, 1x ）,‘R4 ='（3：_2）2+—1），•・•四边形E 』B 。

为正方形，，E4=,15,即-2/+6鸳-1） =2，§，解得x=-2或x=6•••点产在第一象限内.-2不符合题意，舍去，故x=6,此时尸点坐标为（6, 3）；②当产8L 访时，如图2,{可设直线尸8解析式为p=2x+s,把3 （0, 5）代入可得s=5,・••直线尸瓦解析式为y= Jx+5,•••可设尸点坐标为G, ix+5）,・•.?〃= ,/+ 伶/ + 5—5）2,同理可得\%2+（$。

+ 5 — 5『=2/,解得x=-4 （舍去）或x=4,此时尸点坐标为（4, 7）：综上可知存在满足条件的点尸，其坐标为（6, 3）或（4, 7）.7.如图，在平面直角坐标系中，点M是动点且纵坐标为6,点8是线段。

4上一动点，过点8作直线MN 〃'轴，设MV分别交射线。

4与x轴所成的两个角的平分线于点E、F.3）求证：EB=BF；（2）当*为何值时，四边形XEOF是矩形？证明你的结论；（3）是否存在点.4、B,使四边形,4EOF为正方形？若存在，求点*与8的坐标；若不存在，说明理由.【解答】3）见解析：（2）是，见解析：（3）A（0, 6）, B（0, 3）【解析】3）证明：尸平分。

T与x轴正方向的夹角，如图所示:•，WV〃x 轴，=，N2=N3,:・BO=BF.同理可得88二8。

，：.BE=BF：（2）当黑的值为a时，四边形XEOF是矩形.理由如下：•.,需=4,即5。

=切,而BE=BF、••・四边形AEOF为平行四边形，分别交射线。

只与x轴所成的两个角的平分线于点E、F.：.ZEOF= i X180°=90° ,二四边形XEOF 是矩形：（3）存在.•・•四边形JEO产是矩形，...当Q4_LEF时，四边形.1£。

产为正方形，而E尸〃x轴，.•.CU_L.x 轴，.••点X 在y 轴上，•••点。

的坐标为（。

，6）,•：BO=BA, .'.B 点坐标为（0, 3）.8.如图，已知二次函数j，=a/+c图象的顶点为点“（0, -9）,且经过点H （3, 0）.（7）求此二次函数的关系式：（2）设点。

（x, y）是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点C的坐标为（-5, 0）,四边形，曲CD 是以为对角线的平行四边形.①求平行四边形."CD的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范闱：②当点8在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形,488的面积：③当平行四边形.铝8的面积为64时，请判断平行四边形.曲CD是否为菱形？④是否存在点使平行四边形为正方形？若存在，求出点。