第一章 静电场中的电介质1-1 半径为a 的 球带电量为q ，电荷密度正比于距球心的居里。

求空间的电位和电场分布。

解： 由题意可知，可设kr =ρ再由于 ⎰=q dv ρ，代入可以求出常数k 即 ⎰=424ka krdr r ππ 所以 4a q k π= r a q 4πρ= 当 a r >.时 由高斯定理可知 024επqr E =⋅ ； 204rq E πε=⎰∞=⋅=rrq dr E U 04πε当 a r <<0时 由高斯定理可知 4042040024114aqr dr r r a q dv r E rrεππερεπ=⋅==⋅⎰⎰4024a qr E πε= dr r qr dr a qr dr E U a r ar⎰⎰⎰∞∞+=⋅=20240244πεπεaq r a a q 033404)(12πεπε+-=)4(123340r a a q -=πε1-2 电量为q 的8个点电荷分别位于边长为a 的立方体的各顶角。

求其对以下各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；（4）某一棱的中点。

若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题解 ：由电矩的定义 ∑∑==ii i ii i r q r q μ（一）八个电荷均为正电荷的情形（1）立方体的在中心： 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为∑==810i i r ，故0==∑ii i r q μ（2）某一面心： 该面的四个顶点到此面心的矢量和∑==410i i r ，对面的四个顶点到此点的矢量和∑==854i i a r故qa 4=μ；（3）某一顶角 ：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：∑==7534i ia r故qa 34=μ；（4）某一棱的中心 ；八个顶点到此点的矢量和为∑==7524i i a r故qa 24=μ；（二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似； 1-3 设正、负电荷q 分别位于（0，0，l /2）、（0，0，－l /2），如图所示。

求场点P 处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，l 23），（0，0，l 25）处电势的近似值，并与实际值比较 解：P 点的电势可以表示为： ϕ =-++ϕϕ=)11(40-+-r r q πε其中2cos θl r r -=+, 2cos θl r r +=- 204cos rql πεθϕ=取场点分别为P 1 (0,0,l 23) P 2(0,0,l 25)则对于P 1点来说 l r =+, l r 2=- 1ϕ =l ql l q008)211(4πεπε=- 对于 P 2来说 l r l r 3,2==-+ 2ϕ =)3121(40l l q -πε =lq024πε 多极展开项去前两项ϕ=)]2cos 32cos 5(cos 2cos 2[3432θθθθ-'+'rr q r r q 其中 θθcos ,0==1 ， 2l r =' 把P 1 (r=23l )点和P 2 (r=25l)点代入上式可得 )81494(4101lql q +=πεϕ =l q πε8110)6254254(4102lql q +=πεϕ =l q πε62526比较可得 P 1点 ， 实际值lqlq 0081108πεπε>近似值 P 2点 ， 实际值 lqlq 006252624πεπε>近似值1-4分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶极子强度，电四极子强度，电八极子强度。

解 ： 参考课本P 21 图1-10偶极子强度 ql ; 四极子强度21l ql ; 八极子强度321l l ql1-5 试证明位于（0，0，l ）的点偶极子（方向沿Z 轴）μ在场点的r 的展开式为 ),(θϕr =)(cos 411θπεμPn r l n n n n +-∞='∑解 ： 点电荷的多极展开式为)(r 'ϕ =[ )21cos 23(cos 2322-''+''+'r z q r z q r q θ+......]对于正电荷+q 来说 z '=l 3/2+ϕ =[ )21cos 23()2/3(cos )2/3(2322-'+'+'r l q r l q r q θ+......] 对于负电荷-q 来说 z '=l /2-ϕ =[ )21cos 23()2/(cos )2/(2322-'-'-'-r l q r l q r q θ+......] -++=ϕϕϕ= )21cos 23(2cos [42320-'+'r l r l qθπε+......]=)21cos 23(2cos 1[4230-'+'r l r θπεμ+......] = )21cos 23(2)(cos 0[422121************-'+'+'+-+-+-P r l P r l P r l θπεμ+...]=)(cos 411θπεμPn r l n n n n +-∞='∑证毕1-6 （1）试证明电偶极子μ（＝ql ）在电场E 中的转矩M 势能W 分别为：E M ⨯=μ ； W =-E ⋅μ（2）指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。

（3）当μ和E 的夹角从1θ变到2θ时，求电场力所做的功和偶极子的势能变 化。

解 （1）转矩 -+⨯-⨯=f r f r M = )(qE r qE r -⨯-⨯= 2q E r ⨯ = q E l ⨯ = E ⨯μ 势能 W = -q -++ϕϕq =-q l E ⋅ =-E ⋅μ （2）M=0 ,θ=0, π 平衡位置θ=0, W = -μE 能量最低，稳态平衡 θ=π, W = μE 能量最大，不稳定 （3）电场力做功，是θ减少 因此 d θ为负A=⎰⎰=-=-12sin θθθθμθd E Md )cos (cos 12θθμ-E势能变化 △W = W 2- W 1 = )cos (cos 21θθμ-E 因此 ： 保守力做功等于势能增量的负值 A = -△W1-7 两个电偶极子1μ、2μ相距R ，讨论两偶极子间的相互作用能。

解： 先假定 两个偶极子均与R 成θ角，其他情形与此类似 W μ=-121E ⋅μ=⋅1μ▽12ϕ 偶极子2μ在1μ处的电势为 12ϕ=3024R R πεμ⋅ ∴ ▽12ϕ=5023024)(34R RR R πεμπεμ⋅-W μ= ⋅1μ▽12ϕ=]))((3[415213210R R R R ⋅-⋅μμμμπε=]cos )cos(32cos [433021RR θθπθπεμμ--- =)2cos cos 3(423021θθπεμμ-R=)cos 1(423021θπεμμ+R1-8 什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？ 答案略1-9 什么叫退极化场？试用极化强度P 来表示一个介电常数的为r ε的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。

解 ： 极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场 0/εp E P -= P E E E +=0=)1(0-r Pεε=0E )1(0-r Pεε-P E =)1(0-r r Pεεε1-10 在均匀电场0E 中放一个半径为a 的导体球，求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。

由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。

并求出导体球的极化率。

解： 导体球外 ▽2ϕ = 0 r>a )(cos )(10θϕn n nn n n P rB r A +∞=+=∑ 边界条件为 ：（1）由于导体球为一个等势体 因此 ϕr=a=0ϕ（2）ϕ∞→r =θcos 0r E -有 A 1=-E 0 A n = 0 (n 1≠) 代入边界条件可知： B 0 = a 0ϕ Bn ≅0 (n 1,0≠) -E 0a + B 1/a =0 因此 B 1=30a E所以 θθϕϕcos cos 23000ra E r E r a +-= 如果导体球接地 则00=ϕ 从而有θθϕcos cos 2300ra E r E +-=所以 极化电荷产生的电势，电场为θϕcos 230ra E P = P E =-▽ϕPθϕcos 2330r a E r E rP =∂∂-= θθsin 0E E P =导体球的偶极矩为：0304E a πεμ= 导体球的极化率为：304a πεα=1- 11 试证明在电场0E 中引入一偶极矩为0μ的分子，则该分子具有的极化势能为200021E E W ⋅-⋅-=αμ，其中α为分子的极化率。

解 ：假定 分子固有偶极矩0μ沿分子长轴取向分子在电场0E 感生偶极矩μ的长轴和短轴方向上的分量分别为 θααμcos 01111E E ==θααμsin 02222E E == 其中 21E E E += 21μμμ+==2211E E αα+ E μθμθμsin cos 21+== （θαθα2221sin cos +）0E = （△22cos αθα+）0E分子的势能为固有偶极矩势能（-00E ⋅μ）和感生偶极矩（-021E E ⋅μ）之和E E W ⋅-⋅-=μμμ21001-12 H 2O 分子可以看成是半径为R 的-2O 离子与两个质子（+H ）组成，如图所示，其中R l >，+H -2O +H 间夹角为2θ，试证明分子偶极矩值为μ=)1(cos 233lR el -θ解 ： 分子的 固有偶极矩为： θμcos 20el =由于O 2-受到H ++H +的作用，使之发生位移极化,使O 2-的正负电荷中心发生位 移为x原子核的库仑吸引力 F '=-x R e R x q 302302444πεπε-= 2H +产生的电场力 为： 2024cos 4le F πεθ-= 由于F '=F 所以 233cos lR x θ= 此时的分子偶极矩为 ：μ=)1(cos 2)cos (233lR el x l e -=-θθ感生偶极矩为 e e e E ∂=μ 由于 204cos 2le E e πεθ-=，304R e πε=∂ 所以 23cos 2leR e θμ-= 总的偶极矩为 μ=0μ+e μ1-13 在无限大电介质（1ε）中有均匀电场0E ，若在该介质中有一半径为a 、介电常数为2ε介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩μ。

讨论介质球带来的影响，并将结果推广到 ： （1）1ε＝1 （2）2ε＝1 解 ： 由题意可解得：θεεεεϕcos )12(03321121r E r a -+-=θεεεϕcos 2302112r E +-==1E -▽1ϕ θεεεεθcos 2)(2cos 033121201E r a E E r +-+=θεεεεθθsin 2sin 033211201E ra E E +-+-= =2E -▽2ϕ =021123E εεε+（1）当 11=ε时 ； 空腔球θεεϕcos )121(033221r E ra -+-= θεϕcos 23022r E +-= 032201214E a +-=εεπεμ （2）当 12=ε时 ；θεεϕcos )1221(033111r E r a -+-= θεεϕcos 1230112r E +-= 0311021214E a +-=εεπεμ 1-14 （1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为S ，长度为l ，极化强度为P ，如图（a ）所示。