导数的概念习题课
教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则 教学重点 导数的概念及求导法则 教学难点 导数的概念 一、课前预习
1.)(x f 在点0x 处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.若)(x f 在开区间（a ，b ）内每一点都有导数)(/
x f ，称)(/
x f 为函数)(x f 的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数)(x f 在点0x 处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.常数函数和幂函数的求导公式： )_____()(___)(*
//N n x c n ∈==
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：
)()]([)()()]()([/////x cf x f c x g x f x g x f =⋅±=±
二、举例
例1.设函数1)(2
-=x x f ，求：
（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆； （3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率； （4）函数在x ＝1处的变化率.
例2.生产某种产品q 个单位时成本函数为2
05.0200)(q q C +=，求 （1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； （3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.
例3.已知函数2
)(x x f =，由定义求)(/
x f ，并求)4(/
f .
例4.已知函数2
)()(b ax x f +=(a,b 为常数)，求)(/
x f .
例5.曲线2
2
3x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
三、巩固练习
1.若函数3
)(x x f =，则/
)]2([-f ＝＿＿＿＿＿＿
2.如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：
（1）0)(0/=x f （2）1)(0/
=x f （3）1)(0/-=x f （4）2)(0/
=x f ，
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数2
2)(x x x f -=，求)0(/f ，)4
1(/
f ，.
4.求下列函数的导数 （1）23212++=
x x y （2）153
1
4123-+-=x x x y （3）)4(2
3
-=x x y （4）)23()12(2
+-=x x y
四、作业
1.若)(lim 0
x f x →存在，则/
)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿
2.若2
)(x x f =，则1
)
1()(lim 1
--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.求下列函数的导数：
（1）1402022
4+--=x x x y （2）43
26
15423x x x x y -
-++= （3）)3)(12(23x x x y ++= （4）3
2)1()2(-+=x x y
4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2
571000)(x x x C ++=，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.
5.设电量与时间的函数关系为1322
++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.
6.设质点的运动方程是1232
++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ∆之间的平均速度，并计算当
t ∆＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度.
7.若曲线12
32
+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程.
8.在抛物线2
2x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？ （1）与x 轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线. （3）与x 轴相交成45°角
9.已知曲线2
2x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：
（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）过点A 的切线的斜率AT k ； （3）点A 处的切线的方程.
10.在抛物线2
x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.
12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.
13.（选做）证明：过曲线2
a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2
/
1)1(x x
-=）。