第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。

练习：（1）下列说法正确的是( )A.无限小数是无理数B.无理数是无限小数C.两个无理数的和一定是无理数D.两个无理数之和一定是有理数（2）在0、1010010001.0/27-72241.331601.04-3、、、、、、 π（相邻两个1之 间0的个数逐次加1个）中，属于无理数的是 。

（3）在2017321 ，，，中共有 个无理数。

知识要点二：平方根定义2 一般的，如果一个数x 的平方等于a.即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根；求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。

记作:a x ±=。

注意：一个整数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根。

练习：（1）已知：()04-122=++y x ，则=+22y x 。

（2）若1915-+a a 和都是M 的平方根，则M 的值为 。

（3）已知575.893.2,75.8526.922==；当008575.0,857500,5.857222===z y x 求z y x 、、的值。

知识要点四：算术平方根定义3 如果一个正数x 的平方等于a ，那么x 叫做a 的算术平方根，记作：a ，读作：根号a 。

注意： 零的算术平方根是零，记作：00=。

算术平方根负数没有平方根 平方根被开方数0≥a 0≥a 双重非负性零的平方根、算术平方根练习：（1）下列说法：1）4的算术平方根是2；2）-36没有算术平方根；3)一个数的算术平方根一定是正数；4）2a的算术平方根是a；其中正确的个数有个。

（2）当6a的值为最小值时，a= ______。

3-2。

（3）已知()()=m,n363-6253mmm----=+nn-（4）已知n+是整数，则正整数n的最小值是______。

n24拓展：随机的n知识要点五：立方根定义4 如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，记作：3a x =。

立方根的性质：① 任何实数都有立方根，且只有一个；② 正数有一个正的立方根；零的立方根是零；负数有一个负的立方根；③ ()a a =33 a a =33 a a -=-33 练习：（1）若312-a 和33-1b 互为相反数，则=ba 。

（2）若06533=-+-y x ，则=+y x 。

（3）已知372b 是一个正整数，试写出满足要求的最小正整数b. 知识要点五：估算无理数的大小估算一个无理数的大致范围，一般先估算出正数部位，再逐层“夹逼”其范围，得出近似数；我们通过对带根号的无理数的估算，不仅让同学们增强对“”和“3”这两种符号的理解，而且能让提个醒儿们实实在在的体会到了无理数的存在性，并对无理数的大小的估算方法有所了解。

（1）若190+<<k k （k 是整数），则k= 。

（2）118+的整数部分是a ，小数部分是b ，则13422++-b a a =（3）已知x 是10的正合适部分，y 是10的小数部分，求()110--x y 的平方根。

知识要点六：实数的概念知识要点七：实数的性质1、实数的分类(1) 按定义分：有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数有理数无理数 实数有限小数或无限循环小数 无限不循环小数无理数正无理数负无理数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数无理数：无限不循环小无限循环小数有限小数分数整数有理数实数 (2) 按性质分：正实数、零、负实数。

2、实数的相反数、倒数、绝对值相反数：实数a 的相反数是-a倒 数：非零实数a （0≠a ）的倒数是a1绝对值：设a 表示一个实数，则 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a 练习：（1）若实数a 满足1-=a a，则( )A. a ＞0B.a ＜0C.a ≥0D.a ≤0（2）若x ，y 互为倒数，则2xy ﹣2=______．（3）设a ，b ，c 为不为零的实数，那么cc b b a a x ++=的不同的取值共有( )A.6种B.5种C.4种D.3种数轴上任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的一个点来表示。

即：实数与数轴上的点一一对应。

练习：（1）如图，OB=OA=2，且点A表示的数为x，则102x的立方根为( )A.10-2 C.2 D.﹣2-2 B.-10（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，原点滚到了点A，下列说法正确的( )A.点A所表示的是πB.OA上只有一个无理数πC.数轴上无理数和有理数一样多D.数轴上的有理数比无理数要多一些（3）已知，三个实数a，b，c在数轴上的点如图所示，|a﹣b|+|c ﹣a|﹣|c+b|的值可能是( )A.2aB.2bC.2cD.﹣2a针对练习：（1）比较大小（差值法）：5-3与32+（2）比较大小（平方法）：31067++与（3）比较大小（倒数法）：6-75-6与（4）比较大小（数形结合法）：已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，比较a 、-a 、b 、-b 、c 、-c 的大小思考：比较223344555432、、、的大小 练习：（1）三个数，﹣π，﹣3.14，﹣3的大小关系是 。

（2）若0＜x ＜1，则x ，x x x 12、、中，最小的数是 。

（3）如果a+b ＜0，且b ＞0，那么a 、b 、﹣a 、﹣b 的大小关系为知识要点10：实数的运算练习：（1）计算，()328--2-3416-91⨯+=（2）已知a ，b 都是正整数，且18=+b a ，则a+b= 。

（3）若a<b<0,化简()()233333b a b a b a -+---的结果为 。

总练习题C 基础巩固（1）下列实数中，是无理数的是( )A.711 B.0.1010010001 C. 39 D.0 （2）在数﹣3.14，2，0，π，16 0.1010010001…中无理数的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.4个 （3）16的平方根等于( )A.2B.-4C.±4D.±2（4）一个数的算术平方根是x ，则比这个数大2的数的算术平方根是( )A. 22+xB.2+xC.22-xD.22+x（5）若一个数的平方根为a ，立方根为b ，则下列说法正确的是（ ）A.a ＞bB.a ＜bC.a=bD.都有可能（6）m 没有平方根，且|m+1|=2，则m=______．（7）一个正数m 的两个平方根分别是a+1和a ﹣5，则a=______ ，m=______．（8）当63-a 的值为最小值时，a= ______．（9）已知a 、b 为实数，且()0111=---+b b a ，求20122011b a -的值B 能力提升（1）比较2，375，的大小，结果是 。

（2）如果a+b ＜0，且b ＞0，那么a 、b 、﹣a 、﹣b 的大小关系为( )A. a ＜b ＜﹣a ＜bB.﹣b ＜a ＜﹣a ＜bB. a ＜﹣b ＜﹣a ＜b D.a ＜﹣b ＜b ＜﹣a（3）如图，面积为5的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，且表示的数为1，若AD=AE ，则数轴上点E 所表示的数为( )A. -5B.5-1C.25-1-D.5-23 （4）已知8.62=73.96，若x2=0.7396，则x 的值等于______。

（5）在CCTV “开心辞典”栏目中，主持人问这样一道题目：“a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是平方根等于本身的数，请问：a ，b ，c 三数之和是”( )已知（x ﹣y -6）的算术平方根和(y+5)2互为相反数，则xy 5-的平方根为______.（6）下面有3个结论： （1）存在两个不同的无理数，它们的差是整数； （2）存在两个不同的无理数，它们的积是整数； （3）存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数． 其中正确的结论有 。

（7）已知a ，b 满足0454422=++-+b a b a ，则-ab 的平方根为 。

A 拔尖训练（1）化简表达式n a a a a 333317116013117160131-+--+-（其中n 为大于2的奇数），所得的结果等于 。

（2）已知x ，y 都是有理数，且满足方程042313121=--⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππy x ，则x -y= 。

（3）已知8个数： ()2323231-232717-4--1416.3,2-12336.0,8-21⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，，，，，π 其中无理数有 。

（4）已知3132323132323,3,4b a b y b a a x b a +=+==+，则()()=-++3232y x y x 。