6.4.设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与
高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

解 雅可比迭代法的迭代矩阵
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-050100100100000001010101
a b b a a b b a B J ， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J =
ρ。

雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3
100
||<ab 。

高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0500010100001000000000100101021
b
a b ab a b a a b B S ， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=-1003||2ab B I S λλλ，100||3)(ab B S =
ρ。

高斯—塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是3
100
||<ab 。

6.5.对线性方程组⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛13212321x x ，若用迭代法 )()()()1(b Ax x x k k k -+=+α，Λ,1,0=k
求解，问α在什么范围内取值可使迭代收敛，α取什么值可使迭代收敛更快？
解 迭代公式可以写成
b x A I x k k αα-+=+)()1()(，
迭代矩阵为A I B α+=。

由
)4)(1(452
1
2
3
||2--=+-=----=
-λλλλλλλA I ，
故矩阵A 的特征值为1和4，所以矩阵B 的特征值为α+1，α41+，因而
}41,1max{)(ααρ++=B 。

这样
0211
411
11)(<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+<+⇔<αααρB ，
所以当02
1
<<-
α时迭代收敛。

当52
-=α时，
达到最小值53，故5
2
-=α时收敛最快。

6.6.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组b Ax =，证明若取
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=212120203A ，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？
解 雅可比迭代法的迭代矩阵
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
-=+=-021121
03200)(1U L D B J ，11211)(<=J B ρ， 故雅可比迭代法收敛。

高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--12110021003200000100200212020003)(1
1
U L D B S ，11211)(<=
S B ρ， 故高斯—塞德尔迭代法收敛。

因)(12
11
1211)(J S B B ρρ=<=
，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。

6.9.设有线性方程组b Ax =，其中A 为对称正定矩阵，迭代公式
)()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，Λ,2,1,0=k ，
试证明当β
ω2
0<
<时上述迭代法收敛(其中βλα≤≤<)(0A )。

证明 将迭代公式写成
b x A I x k k ωω+-=+)()1()(，Λ,2,1,0=k ，
迭代矩阵为A I B ω-=，其特征值)(1A ωλμ-=。

由
1<μ，即1)(1<-A ωλ，得
)
(2
0A λω<
<， 故当β
ω2
0<
<时，有)
(2
0A λω<
<，即1<μ，这时1)(<B ρ，故迭代收敛。

7.1.用二分法求方程012
=--x x 的正根，要求误差小于0.05.
解 设1)(2
--=x x x f ，因为01)0(<-=f ，01)2(>=f ，所以]2,0[为)(x f 的有根区间。

又12)('-=x x f ，故当210<<x 时，)(x f 单调递减，当2
1
>x 时，)(x f 单调递增。

而4
521-
=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ，1)0(-=f ，由单调性知)(x f 的唯一正根)2,5.1(*
∈x 。

根据二分法的误差估计式，要求误差小于05.0，只需
05.021
1
<+k ，
解得322.51>+k ，故至少应二分6次。

具体计算结果见下表。

因此609375.15*
=≈x x 。