函数的单调性
（一）教学目标 1．知识与技能
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. （2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明. 2．过程与方法
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.
3．情感、态度与价格观
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.
（二）教学重点和难点
重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用. （三）教学方法
讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.
（四）教学过程 教学 环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出 问题
观察一次函数f (x ) = x 的图象：
函数f (x ) = x 的图象特征由左到右是上升的.
师：引导学生观察图象的升降.
生：看图. 并说出自己对图象 的直观认识.
师：函数值是由自变量的增大
而增大，或由自变量的增大而
减小，这种变化规律即函数的单调性.
在函数图象
的观察中获取函数单调性的直观认识.
y
x
1
1 O
引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：
函数f (x) = x2在y轴左侧是下
降的，在y轴右侧是上升的.
列表：
x …
–
4
–3 –2 –1 0
f
(x)
=x2
16 9 4 1 0
1 2 3 4 …
1 4 9 16 …
x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)
减少，图象下降.
x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也
增大，图象上升.
师：不同函数，其图象上升、
下降规律不同. 且同一函数在
不同区间上的变化规律也不
同. 这是“形”的方面，从“数”
的方面如何反映.
生：函数作图时列表描点过程
中，从列表的数据变化可知自
变量由–4到0变化，函数值
随着变小；而自变量由0到4
变化，函数值随着自变量的变
大而变大.
师：表格数值变化的一般规随
是：自变量x增大，函数值y
也增大，函数图象上升，称函
数为增函数；自变量x增大，
函数值y反而减少，函数图象
下降. 称函数为减函数.
体会同一函
数在不同区
间上的变化
差异.
引导学生从
“形变”过
渡到“数
变”. 从定
性分析到定
量分析.
形成概念函数单调性的概念
一般地，设函数f (x)的定义域为
I：
如果对于定义域I内的某个区间D
上的任意两个自变量的值x1，x2，
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数f (x)在区间D上是
增函数（increasing function）；
师：增函数、减函数的函数值
随自变量的变化而变化怎么用
数学符号表示呢？
师生合作：
对于函数f (x) = x2在区间(0，
+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，
则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.
师：称f (x) = x2在(0，+∞)
上为增函数.
由实例探究
规律从而获
得定义的数
学符号表
示.
O x
y
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x
1
＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数（decreasing function）.
应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]
上的函数y = f (x)，根据图象说
出函数的单调区间，以及在每一单
调区间上，它是增函数还是减函
数？
训练题1：
（1）请根据下图描述某装配线的
生产率与生产线上工人数量间的
关系.
师：投影例1.
生：合作交流完成例1.
师：引导学生完成教材P36练
习的第1题、第2题.
师：投影训练题1
生：学生通过合作交流自主完
成.
例1【解】：y= f (x)的单调区
间有[–5，–2），[–2，1），
[1，3），[3，5]. 其中y = f (x)
在区间[–5，–2），[1，3）上
是减函数，在区间[–2，1），
[3，5]上是增函数.
训练题1 答案：（1）在一定范
围内，生产效率随着工人数的
增加而提高，当工人数达到某
掌握利用图
象划分函数
单调区间的
方法.
掌握单调性
证明步骤及
原理.内化
定义，强化
划分单调区
间的方法.
x
x1 x2
O
y
f (x1) f (x
2
)
y=f (x)
x
x1 x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)
（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律
k
p
V
=(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.
训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数. 个数量时，生产效率达到最大
值，而超过这个数量时，生产
效率又随着工人的增加而降
低. 由此可见，并非是工人越
多，生产效率就越高.
（2）
增区间为[8，12]，[13，18]；
减区间为：[12，13]，[18，20].
（3）函数在[–1，0]上是减函
数，在[0，2]上是增函数，在
[2，4]上是减函数，在[4，5]
是增函数.
师：打出例2，请学生阐明应用
定义证明（判定）并总结证明
单调性的基本步骤.
生：学生代表板书证明过程，
教师点评.
例2 分析：按题意，只要证明
函数k
p
V
=在区间（0，+∞）上
是减函数即可.
证明：根据单调性的定义，设
V
1
，V2是定义域（0，+∞）上的
任意两个实数，且V1＜V2，即
21
12
1212
()()
V V
k k
p V p V k
V V VV
-
-=-=.
由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞
0.
由V1＜V2，得V2 –V1＞0.
强化记题步
骤与格式.
又k＞0，于是
p (V
1
) –p (V2)＞0，
即
p (V
1
) ＞p (V2).
所以，函数k
p
V
，V(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p将增大.
师：投影训练题2
生：自主完成
训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
因为f (x1) –f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，
即f (x1)＞f (x2)，
所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.
归纳小结1°体会函数单调性概念的形成过
程.
2°单调性定义.
3°利用图象划分单调区间.
4°利用定义证明单调性步骤.
师生合作：回顾单调性概念的
形式与发展.
师：阐述单调性的意义与作用.
反思回顾
整理知识，
提升能力.
课后练习1.3第一课时习案学生独立完成
巩固知识
培养能力
备选例题：
例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.
【证明】设任意x1、x2R，且x1＜x2，
则f (x1) –f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).
由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) –f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.
例2 证明函数f (x ) =1x
在（0，+∞）上是减函数. 【证明】设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2，
则f (x 1) – f (x 2) =21
1212
11x x x x x x --=
， 由x 1，x 2
(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，
∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x
在（0，+∞）上是减函数.。