平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0A如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则OB C图 1BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OCBC BCAOS BOB S C OC S B S C S B S CBDCOD SBODSCODSBODSCOD S AOA SBOASCOASBOASCOA S B S C图2ODS AOA S B S CS A OA S B OB S C OCS C S BS B S C S B S CS A? OA S B? OB S C? OC 0推论 O 是 ABC 内的一点，且x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心S BOC: S COA: SO 是ABC 的内心S BOC: S COA: SO 是ABC 的外心S BOC: S COA: S AOBAOBAOB1:1:1OA OB OC0a :b :c a ?OA b ?OB c ?OC0sin 2A :sin 2B : sin 2Csin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0O 是ABC 的垂心S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0COA D B证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD, tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DBS BOC: S COA DB : ADS BOC: S COA tan A : tan B同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2 ：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题uuur uuur uuur0 ，则 G 是△ABC的( )．1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA GB GCA．重点B．外心C．内心D．垂心如图⑴ .CPA'BMA G A CBO图⑴图⑵2已知 O 是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuur uuur uuur(0，) ，则P的轨迹一定通过△ ABC 的( ).OP OA( AB AC) ，A．重点B．外心C．内心D．垂心uuur uuur uuur(0，) 时，由于uuur uuur【解析】由题意 AP(AB AC) ，当( AB AC) 表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心，如图⑵.3 .O 是△ ABC所在平面内一点，动点 P 满足（λ∈（ 0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心解：作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，∴=由加法法则知， P在三角形的中线上故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心故选： B．与“垂心”有关的向量问题3P 是△ ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则P是△ABC的() A．重点B．外心C．内心D．垂心uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【解析】由 PA PB PB PC ，得PB (PA PC)0 ，即PB CA0 ，所以 PB ⊥ CA ．同uuur uuur uuur uuur理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.ACB PCEHMPA FBO图⑶图⑷4已知 O 是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuuruuur uuuruuurABuuurAC) ，则动点P的轨迹一定通过△ABCOP OA，(0，AB cos B AC cosC的( )．A．重点B．外心C．内心D．垂心uuuruuur uuur uuurABuuurAC【解析】由题意 AP，AB cos B AC cosCuuuruuur uuur由于 uuurABuuur AC0 ，BC AB cos B AC cosCuuur uuur uuur uuuruuuur uuuuruuur uuurAB BCAC BC BC CB 0 , 所以 AP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点 即 uuuruuurAB cos BAC cosC在过点 A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图⑷ .uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 25 若 H 为 △ ABC 所在平面内一点，且 HA BCHBCAHCAB则点 H 是 △ ABC 的 ( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明 : Q HA2 2 2 2HBCABCA(HAHB ) ? BA (CA CB ) ? BA得 (HA HB CA CB) ? BA 0即 (HC HC ) ? BA 0 ABHCHBC图 6同理 ACHB , BCHA ，故 H 是 △ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6 已 知 I 为 △ ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 ABc ， ACb ， BCa ． 若uur uur uuraIA bIB cIC 0 ，则 I 是 △ ABC 的 ()．A ．重点 B ．外心C ．内心D ．垂心BCOcaIPABbC A图⑸图⑹uur uur uuur uur uur uuur uur uuur uuur 【解析】∵ IB IA AB ， IC IA AC ，则由题意得 (a b c)IA bAB c AC 0 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC∵ bAB cAC AC AB AB AC AC AB，uuur uuurAB ACuur bc uuur uuur uuur uuuruuur uuur AB AC．∵AB AC∴ AIa buuur uuur uuur与 uuur分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量，c AB AC AB ACuurAI 平分BAC ．∴ AI 与∠BAC平分线共线，即同理可证： BI 平分ABC ，CI平分ACB ．从而 I 是△ ABC 的内心，如图⑸.7 已知O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OPOA AB AC，(0，) ，则动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的AB AC( )．A．重点B．外心C．内心D．垂心uuur uuur uuuruuurAB ACBAC 的平分【解析】由题意得AP，∴当(0，) 时， AP 表示uuur uuurAB AC线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心，如图⑹.8若O在△ABC所在的平面内：=，则 O 是△ ABC 的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心解：∵向量的模等于 1，因而向量是单位向量∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得 AO 在∠ BAC的平分线上同理可得 OB 平分∠ ABC，OA 平分∠ ACB，∴O 是△ ABC的内心．故选： C．与“外心”有关的向量问题uuuur uuuur uuuur8 已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是△ABC的( )．A．重点B．外心C．内心D．垂心CB AOBM POAC图⑺图⑻uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur uuur uuur【解析】若 OA OB OC ，则OA OB OC，∴ OA OB OC ，则 O 是△ABC 的外心，如图⑺。
9已知 O 是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuur uuur uuur uuurOB OC uuurABuuurAC(0，) ，则动点P的轨迹一定通过OP，2AB cos B AC cosC△ ABC 的 ( )。
A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心uuur uuuruuur uuurOB OC(0， ) 时，ABAC表【解析】 由于过 BC 的中点， 当uuuruuur2AB cos B AC cosCuuur4 条解释。
），所以 P 在 BC 垂直平分线上，动点 P示垂直于 BC 的向量（注意：理由见二、的轨迹一定通过 △ ABC 的外心，如图⑻四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设 △ ABC 的外心为 O ，则点 H 为 △ ABC 的垂心的充要条件是 uuuuruuuruuur uuurOHOA OB OC 。
2.三角形外心与重心的向量关系及应用设 △ ABC 的外心为 O ，则点 G 为 △ABC 的重心的充要条件是uuur 1 uuuruuur uuurOG(OA OB OC )33.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设 △ ABC 的外心、重心、垂心分别为O 、 G 、 H ，则 O 、 G 、 H 三点共线（ O 、 G 、 H1三点连线称为欧拉线） ，且 OGGH 。
2相关题目10．设△ ABC 外心为 O ，重心为 G ．取点 H ，使 ．求证：（1）H 是△ ABC 的垂心；（ 2） O ， G ，H 三点共线，且 OG ：GH=1：2． 【解答】 证明：（1）∵△ ABC 外心为 O ，∴又∵∴则 = ? = =0即AH⊥BC同理 BH⊥AC，CH⊥ AB即H 是△ ABC的垂心；（ 2）∵ G 为△ ABC的重心∴=3=3 + =即=3即O，G，H 三点共线，且 OH=3OG即O，G，H 三点共线，且 OG： GH=1：2。