2021年高考数学二轮复习专题02函数与导数教学案文一．考场传真1. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.12. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】定义在上的函数满足.若当时.，则当时，=________________.3. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设函数（，为自然对数的底数）.若存在使成立，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）4. 【xx年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设函数2f e+-=+-x x=.2,()ln)3(x x g x x若实数a, b满足, 则（）(A) (B)(C) (D)5.【xx年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A.0B.1C.2D.36. 【xx年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（）（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）7. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】若曲线在点处的切线平行于轴，则．8. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（A）3 (B) 4(C) 5 (D) 6如图则有3个交点，故选A.二．高考研究【考纲要求】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背最②理解导数的几何意义.(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y=x,y=,y=的导数。

②能利用下面给出的基本初等函效的导数公式和异数的四则运算法则求简单函数的导数. 常见基本初等函数的导数公式：（C）=0（C为常数）； =n，nN.；=cosx; =-sinx;=;=ln a(a>0，且a1);=；=（a>0，且a1）(3):导数在研究函致中的应用①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

（4）生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题【命题规律】函数是高中数学教学内容的知识主干，是高考考察数学思想、方法、能力和素质的主阵地，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个数学教学的全过程，导数是研究函数的有力工具，高考对函数的考察更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式等，体现出高考的综合热点.函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择、填空又有解答题，而且不同难易程度的题目都有，低档难度题一般只涉及函数本身内容，中、高档难度的题多为综合程度较高的题，或者与其他知识的结合，或者是多种思想方法的渗透，近年来高考强化了函数与其他知识（函数、方程、不等式、数列等）的渗透，加大了以函数为载体的多方法、多能力的综合程度,解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论思想的应用.一．基础知识整合1．函数的奇偶性：(2)图象特征：函数是偶函数图像关于轴对称；函数是奇函数图像关于原点对称.（3）奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在处有定义，有，即其图像过原点（0,0）.，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的途径，切记！2.函数的单调性判断方法：（1）定义法：对于定义域内某一个区间D内任意的，且，若在D上单调递增；若在D上单调递减.（2）导数法：若函数在某个区间D可导，如果，那么函数在区间D内单调递增；如果，那么函数在区间D内单调递减.(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.（4），若都是增函数，则在其公共定义域内是增函数；若都是减函数，则在其公共定义域内是减函数.，若是增函数，是减函数，则在其公共定义域内是增函数；若是减函数，是增函数，则在其公共定义域内是减函数.同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用.3．函数的图像：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像.的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象4．周期性：（1）定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.（3）函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.例：是奇函数，且最小正周期是2，则，所以关于（1,0）对称.是偶函数，且图象关于对称，则，所以周期是2.5．指数函数、对数函数、幂函数的性质：幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在 时，单调递减. ６.函数与方程（１）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（２）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得f (c) = 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根（5）函数的零点就是函数的图象与轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间.7．导数的几何意义（1）函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，则（2）函数在点处的切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-.(3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率. 8．导数与单调性的关系（1）若函数在某个区间D 可导， 在区间D 内单调递增；在区间D 内单调递减. (2) 若函数在某个区间D 可导，在区间D 内单调递增；在区间D 内单调递减.(3)若求单调区间，只需在函数的定义域内解不等式或,或者可以画导函数 的图像，通过判断的符号确定单调区间（尤其对于含参数的函数单调性问题可以简化解题过程）.(4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求解；另一种方法是转化为或恒成立.9．导数和函数极值、最值的关系 （1）求极值的步骤：①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.（4）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. 二．高频考点突破 考点1 函数及其表示 【例1】【内蒙古赤峰市全市优质高中xx 届高三摸底考试（文）】已知函数22log (1)1,1(),1x x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩，若，则.【例2】【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则________ .【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式（组）即可.2、对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.【举一反三】【浙江省绍兴市第一中学xx届高三上学期回头考】已知则的值等于．考点2 函数的图象【例1】【山西省山大附中xx届高三9月月考数学文】已知函数则的大致图象是（）【例2】【xx年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数的图象大致为【例3】【浙江省温州市十校联合体xx届高三10月测试数学试题（文科）】方程有三个不相等的实根，则k的取值范围是 ( )A. B. C. D.【规律方法】1.正确的作图必须做到：①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数及形如的函数图象；②掌握图象变换的方法来简化作图过程. 2．正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断.【举一反三】【广东省广州市执信、广雅、六中xx届高三10月三校联考(文）】函数的图像大致是( )考点3 函数的性质【例1】【安徽省示范高中xx 届高三上学期第一次联考数学（文）】已知函数，（且）是上的减函数，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【例2】【广东省广州市海珠区xx 届高三入学摸底考试数学文】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为 （ ）【例3】【江西省xx 届高三新课程适应性考试文科数学】函数的定义域为，对定义域中任意的，都有，且当时，，那么当时，的递减区间是（ ） A ． B ． C ． D ．【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的性质.【举一反三】【吉林市普通中学xx 学年度高中毕业班摸底测试文】设函数21,,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例1】.【广东省广州市海珠区xx 届高三入学摸底考试数学文】0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2a b c d ====，则这四个数的大小关系是 （ ）.【例2】【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】已知，函数，若，则（ ） A 、 B 、 C 、 D 、【例3】【江苏省南京市xx届高三9月学情调研】已知函数()32log,031108,333x xf xx x x⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数、、、，满足，其中，则的取值范围是 .【规律方法】1、对数函数的定义域为，指数函数的值域.2、熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】【宁夏银川一中xx 届高三年级第一次月考文科】函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341x ,22)(2x x x x x f 的图象与函数的图象的公共点个数是 个考点5 函数的零点 【例1】【江西省xx 届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【例2】【湖北省重点中学xx届高三10月阶段性统一考试（文）】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 .【例3】【吉林省白山市第一中学xx届高三8月摸底考试文】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－log a(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）【规律方法】1、确定函数的零点所在的区间：第一种方法是解方程的根；第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.【举一反三】【江苏省扬州中学xx学年高三开学检测】设函数，函数的零点个数为．考点6 函数模型及其应用【例1】【xx年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．【例2】【成都外国语学校xx级高三开学检测试卷】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题建模求解反馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解决.【举一反三】【宁夏银川一中xx届高三年级第一次月考文科】有两个投资项目、，根据市场调查与预测，A 项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式；（2）现将万元投资A项目, 10-x万元投资B项目.h(x)表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和.求h(x)的最大值,并指出x为何值时,h(x)取得最大值.考点7 导数的运算及其意义【例1】【河北省唐山市xx学年度高三年级摸底考试文科】曲线在点处的切线方程为 .【例2】【江西省xx届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【规律方法】1.导数的几何意义是.2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上.【举一反三】已知点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的取值范围是（）A. B. C. D.考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例1】【湖北省荆州中学xx届高三年级第一次质量检测数学】设函数的导函数为，对任意都有成立，则（）A． B.C. D. 与的大小不确定【例2】【湖北省重点中学xx届高三10月阶段性统一考试（文）】已知函数，若对于任意的，，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【例3】【xx届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】已知，,在处的切线方程为+--πyx126=3318（Ⅰ）求的单调区间与极值；（Ⅱ）求的解析式；（III）当时，恒成立，求的取值范围.首先证明在恒成立．【规律方法】1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解解不等式和定义域求交集得单调递增区间；解不等式和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求的根，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求的根，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】【江西师大附中高三年级xx 开学考试】 已知函数311()ln (,0).33f x x a x a R a =--∈≠ (Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)求函数的单调区间；(III)若对任意的，都有成立，求的取值范围.三．错混辨析1.忽视函数的定义域出错【例1】函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.2.概念不清致误【例2】已知在处有极值为10，则的值=__________.3.导数和单调性关系理解不清【例3】已知区间是增函数，求实数a的取值范围.一．原创预测______.1.【高考改编题】设是定义域为的函数，且满足，在区间上，，其中且，若，则(1) 当时,求函数的单调区间和极值；(2) 证明：当时，函数在上有且只有一个零点．当变化时,的变化如下表:3.已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈ 若在x=2时取得极值，求a 的值； 求的单调区间；求证：当时，.。