第三章 时域分析法习题3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假定温度计为一阶系统，试求时间常数T 。
如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以min /C 10︒的速度线性变化，求温度计的误差。
解：min 25.0min 14=⇒=T T 传递函数125.01)(+=Φs stt r 10)(=425.025.01)125.0(10)()()(22++-=+=⋅Φ=s sss s s R s s C tet t c 45.25.210)(-+-=C t c t r t e e s s ss ︒=-==∞→∞→5.2)()(lim )(lim3-4 单位负反馈系统的开环传递函数为)1(1)(+=s s s G ，求该系统的上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。
解：11)(2++=Φs s s12=n ξω,12=n ω.3arccos ,5.0,1πξβξω====⇒n 。
%16%100%,63.31,42.2121/22=⨯==-==--=--ξπξσξωπξωβπe t t n p n r%)2(84%),5(63=∆===∆==ns ns t t ξωξω3-6 系统的单位阶跃响应为tteet c 10602.12.01)(---+=，试求：(1) 系统的闭环传递函数；(2) 系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率n ω。
解：(1)ss R s s ss C 1)(,102.1602.01)(=+-++=60070600)(2++=Φs s s(2) 702=n ξω,6002=n ω.43.1,5.24==⇒ξωn3-7 设单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示， 试确定其开环传递函数。
解：%30%100)13.1(%100%21/=⨯-=⨯=--ξπξσe6.33,356.01.012==⇒=-=n n p t ωξξωπ)9.23(1.1129)2()(2+=+=s s s s s G n nξωω3-8 单位负反馈系统的开环传递函数)1()(+=Ts s K s G 。
当)()(t t r ε=时，系统的动态性能指标%30%≤σ，%)5(3.0=∆≤s t s ，试选择参数K 及T 值。
解：TK s Ts TKKs TsK s ++=++=Φ1)(22TKTK TK Tn n n 21,,122==⇒==ξωωξω3.06,356.021%30%≤=≥⇒≤T t TKs σ5.39,05.0≤≤⇒K T3-11 闭环系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。
（1）010092023=+++s s s （2）020092023=+++s s s （3）0516188234=++++s s s s （4）012362345=+++++s s s s s(1) Routh ：s 3 1 9 s 220 100 s 1 4 s 0100 第一列同号，所以系统稳定。
(2) Routh ：s 3 1 9 s 220 200s 1 -1s 0 200 第一列变号，所以系统不稳定。
(3) Routh ：s4 1 18 5s 3 8 16s 2 16 5s 1 216s 0 5 第一列同号，所以系统稳定。
(4) Routh ：s51 3 1s 4 6 2 1s 3 16 5 s 2 2 1s 1 -6s 0 1 第一列变号，所以系统不稳定。
3-12 单位负反馈系统的开环传递函数解：(1)系统特征方程：0401423=+++K s s sRouth ： s 3 1 40 s 2 14 K s 1 560-Ks 0K系统稳定，560-K>0,K>0所以：0<K<560)10)(4()(++=s s s Ks G(1) 试确定系统稳定时的K 值范围；(2) 确定使闭环极点的实部不大于-1的K 值范围。
(2)将11-=s s 代入特征方程，得：027151112131=-+++K s s sRouth ： s 31 15 s 211 K-27 s 1 192-Ks 0K-27 192-K>0,K-27>0所以：27<K<1923-13 系统结构如图所示，确定系统稳定时τ的取值范围。
解：开环传递函数：)101()1(10)(2τ+++=s s s s G特征方程：01010)101(23=++++s s s τRouth ： s 3 1 10s 2τ101+ 10 s 1τ10s 0 10 系统稳定，010>τ，即0>τ3-16 单位反馈控制系统的开环传递函数如下。
试求各系统的静态位置误差系数p K 、速度误差系数v K 和加速度误差系数a K ，并确定当输入信号分别为2,2 ),()(t t t t r ε=和221t t ++时系统的稳态误差ss e 。
(1) )12.0)(11.0(20)(++=s s s G (2) )10)(2(200)(++=s s s s G解：(1)0)(lim ,0)(lim ,20)(lim 2======→→→s G s K s s G K s G Ks a s v s p∞====+==ss pss e t t r t t r Ke t t r 时，型系统，2)(,2)(;21111),()(0ε∞=++=ss e t t t r 时，221)((2)0)(lim ,10)(lim ,)(lim 2====∞==→→→s G s K s s G K s G K s a s v s pI 型系统 ∞======+==ss vss pss e t t r K V e t t r Ke t t r 时，2)(,2.0,2)(;011),()(ε∞=++=ss e t t t r 时，221)((3) )104()12(10)(22+++=s s s s s G (4) )2)(12()13(5)(2+++=s s s s s G(3)1)(lim ,)(lim ,)(lim 2==∞==∞==→→→s G s K s s G K s G Ks a s v s pII 型系统 2)(,0,2)(;011),()(2=======+==ass vss pss K A e t t r K V e t t r Ke t t r 时，ε221)(2=++=ss e t t t r 时，(4)由劳斯判据知系统不稳定，故不存在稳态误差。
3-17 闭环系统的结构如图所示。
(1) 当ss R 1)(=，超调量%20%=σ，调整时间%)5(8.1=∆=s t s 时，试确定参数1K 和τ的值；(2) 当输入信号分别为 ,)( ),()(t t r t t r =ε=221)(t t r =时，求系统的稳态误差。
解：(1)系统开环传递函数)()(11τK s s K s G +=闭环传递函数1121)(K s K s K s ++=Φτ65.38.13,456.0%20%100%21/=⇒===⇒=⨯=--n ns t eωξωξσξπξ25.04.13,33.32211=⇒====τωξωτn n K K(2)系统为I 型系统，)29.3(7.13)(+=s s s G开环增益为16.429.37.13==K∞=======ss e t t r t t r t t r ,21)(,24.016.41e ,)(,0e ,)()(2ss ss 时时时ε3-18 系统结构如图所示，试确定使阻尼比7.0=ξ和单位斜坡函数 输入时稳态误差25.0=ss e 的参数K 和τ的取值。
解： )K 2(K )(τ++=s s s G25.02212)(=+=+=+=KK KK e KK t t r ss τττ，时，开环增益为：K K n n τξωω+==22,186.0,36.31==⇒τK3-19 系统结构如图所示，其中)()()()(21t t d t d t r ε===。
试求：(1) 在)(t r 作用下系统的稳态误差；(2) 在)(1t d 和)(2t d 同时作用下系统的稳态误差； (3) 在)(1t d 作用下，且sK K s G p+=)(1和Jss F 1)(=时，系统的稳态误差。
解：(1)r(t)作用时，令0)()(21==t d t d )()(11)(s F s G s er +=Φ，ss R 1)(=，则))()(1(1)()()(s F s G s s R s s E er +=Φ=)0()0(11)(lim 0F G s sE e s ss +==→(2) )(),(21t d t d 作用时，令0)(=t r )()(1)()(1s F s G s F s ed +-=Φ，)()(11)(1s F s G s ed +-=Φ))()(1()(1))()()()(()(2211s F s G s s F s D s s D s s E ed ed +--=Φ+Φ=)0()0(1)0(1)(lim 0F G F s sE e s ss ++-==→(3)01)(11lim)()(lim )(lim 0110=++-=Φ==→→→Jss K KJs s D s s s sE e ps ed s s ss3-20 图示复合控制系统中bs as s G c +=2)(，)102.0)(11.0(10)(++=s s s s G ，试选择a 和b 的值，使系统由I 型系统的无差度提高为III 型系统的无差度。
解： 10)102.0)(11.0(1010)102.0)(11.0()(1)()(1)(2+++--++=+-=Φs s s bsass s s s G s G s G s c er要想系统误差度为III 型系统无差度，则需要当31)(ss R =时，稳态误差零。
10)102.0)(11.0(101012.0002.01lim)()(lim 2232+++--++⋅=Φ=→→s s s bsass s s ss s sR e s er s ss令0101,01012.0=-=-b a 得1.0,012.0==b a3-21 系统结构如图(a)所示，(1) 若)(,1)()(,0)(,1)(3212s G s G s G s D ss R ====为一阶环节，输出响应曲线如图(b)所示，求)(3s G ； (2) 若ss G s s G s K s G t t d t t r 25.0)(,18)(,12.0)(),(2)(,)(321=+=+=ε-==，试求当1=K 和5=K 时系统的稳态误差。
(a)(b)解：（1）设系统闭环传递函数为1)(+=ΦTs K s ，由输出响应曲线知，。