专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．在?中，＝6，＝8，∠B是锐角，将△沿对角线所在直线折叠，点D落在△所在平面内的点E处．如果恰好经过的中点，那么?的面积是．处，恰好经过边的中点2．如图，将平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E 6，求∠B的度数．．若＝3，＝(第2题)矩形的折叠问题3．(中考·衢州)如图①，将矩形沿折叠，使顶点A落在上的点A′处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点A落在折痕上的点G处．再将矩形沿折叠，此时顶点B恰好落在上的点H处．如图②.(1)求证：＝；(2)已知＝，求和的长．(第3题)菱形的折叠问题(第4题)4．如图，在菱形中，∠A＝120°，E是上的点，沿折叠△，点A恰好落在上的F点，连接，那么∠的度数是( )A．60°B．70°C．75°D．80°5．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为.若菱形的边长，求的长．120°＝A，∠2为(第5题)正方形的折叠问题(第6题)6．如图，正方形纸片的边长＝12，E是上一点，＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为，则的长为．7．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G 处，交于H，折痕为，连接，.(1)求证：∠＝∠.(2)当点P在边上移动时，△的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第7题)专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在?中，E，F两点在对角线上运动(E，F两点不重合)，且保持＝，连接，.请你猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．已知，在矩形中，＝4 ，＝8 ，的垂直平分线分别交，于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接，，试说明四边形为菱形，并求的长；(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△和△各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 ，点Q的速度为4 ，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形中，∠B＝60°，动点E在边上，动点F在边上．(1)如图①，若E是的中点，∠＝60°，求证：＝；(2)如图②，若∠＝60°，求证：△是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形的边长为8 ，E，F，G，H分别是，，，上的动点，且＝＝＝.(1)求证：四边形是正方形；(2)判断直线是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型名师点金：本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，将一张长为10，宽为8③图的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线()剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )中的虚线22．A．10 20 B22．．40 80 DC(第1题)(第2题)·2．(中考泰安)如图，在矩形中，E是的中点，将△沿直线折叠后得到△，延长交于点F，若＝6，＝4，则)( 的长为2．A．2 B．4 D3．如图，将正方形纸片折叠，使边，均落在对角线上，得折痕，，则∠的大小为( )A．15°B．30°C．45°D．60°(第3题)(第4题)特殊平行四边形中的动点问题，∠A＝60°.点D90°4．如图，在△中，∠B ＝，＝60从点C出发沿方向以4的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0≤t≤15)．过点D作⊥于点F，连接，.若四边形为菱形，则t的值为( )A．5 B．10C．15 D．205．如图，正方形的边长为4，∠的平分线交于点E.若点P，Q分别是和上的动点，则＋的最小值是( )A．2 B．4 C．2 D．4)题5第((第6题)特殊平行四边形中的中点四边形问题6．如图，在四边形中，＝a，＝b，且⊥，顺次连接四边形各边中点，得到四边形ABCD111，再顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形ABCD，…，如此进行下去，得到四221211211边形.下列结论正确的是( )①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是矩形；③四边形ABCD的周长为；④773374374344四边形的面积为.A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．(中考·广安)如图，已知E，F，G，H分别为菱形四边的中点，＝6 ，∠＝60°，则四边形的面积为．(第7题)(第8题)特殊平行四边形中的图形变换问题·中考．(枣8庄)如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45°得到正方形CD，边BC与交于点O，则四边11111)的面积是形( 11D1 －．＋9．如图，四边形是正方形，点G是边上任意一点，⊥于点E，∥，交于点F.(1)求证：－＝；(2)将△绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．(第9题)灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明10．如图，在?中，E，F分别是，的中点，连接，.(1)求证：△≌△；(2)连接，当＝时，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．(第10题)11．(中考·漳州)如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作∥，交于点G，连接.(1)求证：四边形为菱形；(2)若＝8，＝4，求的值．(第11题)12．如图①，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且⊥.(1)求证：＝.(2)如图②，在正方形中，M，N，P，Q分别是边，，，上的点，且⊥与是否相等？并说明理由．(第12题)专训4.全章热门考点整合应用名师点金：正方形有关的计算和、菱形、矩形、本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形．证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似(以后学到)、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个性质，两个定理，四个图形，三个技巧，三种思想．一个性质——直角三角形斜边上的中线性质1．如图，在△中，点D，E，F分别是，，的中点，是边上的高．求证：(1)四边形是平行四边形；(2)∠＝∠.(第1题)两个定理三角形的中位线定理2．如图，已知在四边形中，＝且⊥，点E，F，G，H，P，Q分别是，，，，，的中点．求证：(1)四边形是矩形；(2)四边形是菱形．(第2题)多边形的内角和与外角和定理3．如果一个多边形的内角和等于1 260°，那么这个多边形的边数为( ) A．7 B．8 C．9 D．105．如图，一张多边形纸片按图所示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )A．13 B．14 C．15 D．16(第4题)(第5 题)5．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于度．6．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：(1)整个行走路线是什么图形？一共走了多少米？(2)．(第6题)四个图形平行四边形7．如图，E，F分别是?的，边上的点，且＝.(1)求证：△≌△；(2)若M，N分别是，的中点，连接，，试判断四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论．(第7题)矩形8．如图，在?中，点O是与的交点，过点O的直线与的延长线，的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△≌△.(2)连接，，则与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．(第8题)菱形9．如图，在△中，D，E分别是，的中点，过点E作∥，交于点F.(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当△满足什么条件时，四边形是菱形？为什么？(第9题)正方形10．(中考·甘孜分别为边，的中点时，有：F，E，当G分别为正方形的边，上的点，，相交于点F，E已知)州①＝；②⊥成立．试探究下列问题：(1)如图①，若点E不是边的中点，点F不是边的中点，且＝，上述结论①，②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明)(2)如图②，若点E，F分别在的延长线和的延长线上，且＝，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图③，在(2)的基础上，连接和，若点M，N，P，Q分别为，，，的中点，请判断四边形是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并说明理由．(第10题)11．如图，已知在△中，∠＝90°，先把△绕点B顺时针旋转90°后至△，再把△沿射线平移至△，，相交于点H.(1)判断线段，的位置关系，并说明理由；(2)连接，求证：四边形是正方形．(第11题)三个技巧解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)12．如图所示，在矩形中，＝10，＝5，点E，F分别在，上，将矩形沿折叠，使点A，D分别落在矩形外部的点A，D处，求阴影部分图形的周长．11(第12题)解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)13．如图，正方形的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第13题)解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)14．如图，在边长为10的菱形中，对角线＝16，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，⊥于E，⊥于F.(1)求对角线的长及菱形的面积．(2)如图①，当点O在对角线上运动时，＋的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线的延长线上时，＋的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系，并说明理由．(第14题)三种思想方程思想15．如图，四边形是平行四边形，⊥于点E，⊥交的延长线于点F，＝4 ，＝5 ，四边形的周长为36 .求，的长．(第15题)16．如图，在矩形纸片中，，相交于点O，∶＝1∶2，＝，将纸片折叠使点B与点D重合，求折叠后纸片重合部分的面积．(第16题)转化思想17．如图，在?中，对角线，相交于点O，过点O作直线交于点E，交于点F，若?2，求阴影部分的面积．30 的面积为(第17题)分类讨论思想18．已知四边形是正方形，△是等边三角形，求∠的度数．答案1．12点拨：如图，设，的交点为O，连接，已知O是的中点．∵在△和△中，＝，＝，＝，∴△≌△，则△≌△，∴∠＝∠，同时，＝，即在四边形中，两条对角线相等．∵在△中，∠＝∠，∴＝，易得O是的中点．∴四边形是矩形，在△中，＝＝6，＝＝8，由勾股定理得＝＝＝2 .∴?的面积＝·＝6×2 ＝12 .(第1题)(第2题)，如图．解：设与相交于点F．23.1＝∠∴∠∵四边形为平行四边形，∴∥.∵平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴＝.3.＝6，∴＝＝＝×6为边的中点，＝F∵．又∵＝3，∴△是等边三角形．∴∠B＝60°.3．(1)证明：由折叠知＝＝，＝.∵四边形是矩形，∴＝.∴＝.(2)解：∵∠＝45°，∠＝∠A＝90°，＝，∴＝，＝2.∴＝2＋.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠＝90°，∴∠3＝∠.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，＝，∴△≌△.∴＝.∴＝＋＝＋＝2＋＋＝2＋2 .(第3题)(第5题)C4．.．5解：如图，连接，.∵四边形是菱形，∴⊥，平分∠. 90°－60°＝30°，∴∠＝∵∠＝120°60°.∴∠＝1. ＝90°，∴＝＝×2∵∠＝.由勾股定理，得＝＝. 重合，∴⊥，平分沿折叠与点O∵点A ∵⊥，∴∥，易得为△的中位线，.)＝∴＝＝×(＋6．13 点拨：如图，过点F作⊥，垂足为M，连接，，设交于点N，由折叠的性质知⊥，∴∠C＝∠＝90°，∴∠＝∠.易知＝，∠＝∠C，∴△≌△，∴＝＝5，由勾股定理得＝＝13.(第6题))题7 第(.(1)7．证明：∵＝，∴∠＝∠，∴∠－∠＝∠－∠，90°又∵∠＝∠＝即∠＝∠.又∵∥，∴∠＝∠，∴∠＝∠.(2)解：△的周长不变且为定值8.证明如下：过B作⊥，垂足为Q.如图．由(1)知∠＝∠，又∵∠A＝∠＝90°，＝，∴△≌△.∴＝，＝.又∵＝，∴＝.又∵∠C＝∠＝90°，＝，∴△≌△，∴＝.∴△的周长为：＋＋＝＋＋＋＝＋＝8.1．解：＝，∥.证明如下：∵四边形是平行四边形，∴＝，∥.∴∠＝∠.在△和△中，∵＝，∠＝∠，＝，∴△≌△.∴＝，∠＝∠.∵∠＋∠＝∠＋∠＝180°，∴∠＝∠.∴∥.2．解：(1)∵四边形是矩形，∴∥.∴∠＝∠，∠＝∠.∵垂直平分，垂足为O，∴＝.∴△≌△.∴＝.∴四边形为平行四边形．又∵⊥，∴四边形为菱形．设＝＝x ，则＝(8－x)，(第2题)222，解得xx＝＋(8－x)5. 4 在△中，＝，由勾股定理得4＝∴＝5 .(2)显然当P点在上，Q点在上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在上，Q点在或上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在上，Q点在上时，才能构成平行四边形，如图，连接，，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时＝.∵点P的速度为5 ，点Q的速度为4 ，运动时间为t s，∴＝5t ，＝(12－4t).∴5t＝12－4t，解得t＝.∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.：明证．3．(1)连接.∵在菱形中，∠B＝60°，∴＝＝，∠＝180°－∠B＝120°.∴△是等边三角形．又∵E是的中点，∴⊥.∵∠＝60°，∴∠＝90°－∠＝30°.∴∠＝180°－∠－∠＝180°－30°－120°＝30°.∴∠＝∠.∴＝.∴＝.知△是等边三角形，由连接.(1)(2). ∴＝，∠＝∠＝60°. 又∵∠＝60°，∴∠＝∠60°，120°∵∠＝，∠＝B. 60°＝∠∴∠＝.∴△≌△∴△是等边三角形．∴＝.(第3题)(第4 题)证明：如图，∵四边形为正方形，4．(1). 90°，＝＝＝∴∠A＝∠＝∠C＝∠＝. ∵＝＝＝，∴＝＝＝. ∴△≌△≌△≌△∴四边形为菱形．∴∠1＝∠2，＝＝＝.∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠＝90°.∴四边形为正方形．(2)解：直线经过一个定点．理由如下：如图，连接，，，.设与交于O点．∵綊，∴四边形为平行四边形．∴，互相平分．∴＝.∴点O为正方形的中心．∴直线必过正方形的中心．1．A234．B点拨：在△中，∠＝90°，∠C＝30°，＝4t ，所以＝2t .又因为＝2t ，所以＝.因为∥，所以可推出四边时，四边形为菱形．10＝t所以当10.＝t解得2t.＝4t－60形为平行四边形．令＝，则．5．C点拨：连接交于点O，由图可知，＋的最小值即为的长，由正方形的边长为4可知，的长为2 ，所以＋的最小值为2 .6．A(第7题)2点拨：连接，，设，相交于点O9 ，如图，7．易知，四边形是矩形．由四边形是菱形，∠＝60°，可得∠＝30°，又∵∠＝90°，∴＝＝3 .∴＝6 .在△中，＝＝3 ()，∴＝6 .∵＝，＝，∴＝3 ，＝3 .2)．＝3 9 ( ∴矩形的面积＝·＝3×8．C9．(1)证明：∵四边形是正方形，(第9题)∴＝，∠＝∠＋∠＝90°.∵⊥，∴∠＝∠＝90°.∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.又∵∥，∴∠＝∠＝90°.在△和△中，∵∴△≌△()．∴＝.∵－＝，∴－＝.(2)解：如图，由题意知将△绕A点旋转得到△′，B与D重合，连接F′E，由.易得＝(1) 90°，＝＝′，＝根据题意知：∠′. F′＝∠＝90°∴∠. 180°F′即∠＋∠＝.∴′∥′为平行四边形．∴四边形是矩形．′，∴四边形90°又∠＝∵＝3，∴′＝＝3.10．(1)证明：∵四边形为平行四边形，∴＝，∠B＝∠D，＝.∵E，F分别是，的中点，∴＝.∴△≌△()．(2)解：四边形是矩形，理由：∵＝，＝，＝，∴＝.∵∥，∴四边形是平行四边形．当＝时，⊥，∴∠＝90°.∴四边形是矩形．(第11题)11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：＝，＝，∠1＝∠2，∵∥，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴＝.∴＝＝＝.∴四边形为菱形．(2)解：设＝x，则＝＝x，＝8－x，222222，xx) ，即4＝＋(8在△中，＋－＝解得x＝5.∴＝8－x＝3.∴＝. 12．(1)证明：∵四边形是正方形，∴＝，∠D＝∠＝90°，∴∠＋∠＝90°.∵⊥，∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.∴△≌△()．∴＝.(2)解：易证四边形.知＝E，∵⊥，∴⊥，由(1)F与相等．理由如下：过点A作∥交于，过点B作∥交于.，四边形都是平行四边形，∴＝，＝，∴＝分别是，的中点，，ED．1证明：(1)∵点∴四边形是平行四边形．.∴∥.同理可得∥. 由(2)(1)知四边形是平行四边形，∴∠＝∠是的中点，∴＝＝，在△中，∵D. ∴∠＝∠同理可得＝＝，. ∴∠＝∠.∴∠＋∠＝∠＋∠.∴∠＝∠.∴∠＝∠．2．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为，，，的中点，∴∥，∥，∥，∥，∴∥，∥，∴四边形是平行四边形．又∵⊥，∴⊥.∴?是矩形．(2)∵点E，P，G，Q分别为，，，的中点，∴＝，＝，＝，＝.∵＝，∴＝＝＝，∴四边形是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．3．C45.726．解：(1)正九边形．(2)9×8＝72(米)．答：一共走了72米．7．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴＝，∠A＝∠C. 又∵＝，∴△≌△()．(2)解：四边形是平行四边形．证明：由(1)知△≌△，∴＝，∠＝∠.∵M，N分别是，的中点，∴＝，＝.∴＝.又∵四边形是平行四边形，∴∥.∴∠＝∠.∴∠＝∠.∴∥.∴四边形是平行四边形．8．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴＝，∥，∴∠＝∠.在△和△中，∴△≌△()．(2)解：当＝时，四边形是矩形．理由如下：由(1)知△≌△，∴＝.∵＝，∴四边形是平行四边形．又∵＝，∴四边形是矩形．9．(1)证明：∵D，E分别是，的中点，∴是△的中位线，∴∥.又∵∥，∴四边形是平行四边形．(2)解：答案不唯一，下列解法供参考．当＝时，四边形是菱形．理由：∵D是的中点，∴＝.∵是△的中位线，∴＝.又∵＝，∴＝.又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．10．解：(1)上述结论①，②仍然成立．(2)上述结论①，②仍然成立．证明：∵四边形为正方形，∴＝，∠＝∠＝90°.在△和△中，∴△≌△()．∴＝，∠＝∠.. 90°，∴∠＋∠＝90°∵∠＋∠＝。