四、计算下列各题
1.一箱子中盛有20个红球，10个黑球，设所有的球都是可区分的，连续地从中取球且取出后不放回去，直接取到黑球为止，试求取得的红球数恰好是 的概率。
2.将三个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率；
（1）A=“任意3个盒子中各有1球”；
（2）B=“任意一个盒子中有3个球”；
（3）C=“任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球”。
C． 两两独立D. 两两独立
四、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有
2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立的分别在两只盒子中各取一只球。
1.求至少有一只蓝球的概率；
2.求有一只蓝球一只白球的概率；
3.已知至少有一只蓝球，求一只篮球一只白球的概率。
五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为，乙投中的概率为 。今各投三次。求：
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意的拨号。求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
4.某产品的合格概率是 。有一检查系统，对合格品进行检查能以的概率判为合格品，对不合格品进行检查时，仍以的概率判为合格品。求该检查系统发生错误的概率。
5.一电子器件工厂从过去经验得知，一位新工人参加培训后能完成生产定额的概率为，而不参加培训只能完成定额的概率为，假如该厂中有80%的工人参加过培训。
7.设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求：
（1）先取出的零件是一等品的概率p；
（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率q。
8.一试验可以独立重复进行，每次试验的成功率为p，则直到第10次试验才取得4次成功的概率为多少
是独立的（ ）
二、填空题
1.设事件 与 相互独立，已知 ，
则
2.设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 发生 不发生的概率
与 发生 不发生的概率相等，则
三、选择题
1.设 ，则下列结论正确的是
A． 与 互不相容 B.
C． 与 相互独立 D.
2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：
，则
A． 相互独立B. 相互独立
三、选择题
1.设事件 , 互不相容， ，则
A． B. C. D.
2.设当事件 和 同时出现事件 也随之出现，则
A． B.
C． D.
四、设 ， 是两件事，且 ,
1.在什么条件下 取到最大值，最大值是多少
2.在什么条件下 取到最小值，最小值是多少
五、设 是三事件，且
求 至少有一个发生的概率。
六、设有10件产品，其中6件是正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率；
8.互斥事件必为互逆事件（ ）
二、填空题
1.一次掷两颗骰子，
（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为；
（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为。
2.化简事件 。
3.设A,B,C为三事件，用A,B,C交并补关系表示下列事件：
（1）A不发生，B与C都发生可表示为；
9.有6个元件，它们断电的概率第一个为，第二个为，其余四个都为，各元件相互独立，求线路断电的概率，若
（1）所有元件串联；
（2）元件按图连接1---2
---3---4---
5---6
10.甲乙丙三人独立向一飞机射击，设甲乙丙的命中率分别为，，，又设恰有
1人，2人，3人击中飞机坠毁的概率分别为，，1 。现在三人向飞机各射击一次，求飞机坠毁的概率。
2.下列关系中能导出“A发生则B与C同时发生”的有（ ）
A、 ；B、 ；C、 ；D、
四、写出下列随机试验的样本空间
1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；
2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；
3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
8.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子取出1球，这个球为白球的概率为 ；已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率
二、选择题
1.对于任意二事件A,
A．若 ,则 , 一定独立 B. 若 ,则 , 不一定独立
1.叙述事件 的意义；
2.什么时候
3.
习题二 随机事件的概率
一、判断题
1.概率为零的事件一定是不可能事件。（ ）
2. 。（ ）
3. （ ）
4. （ ）
5.若 ,则 （ ）
6.若
（1）则事件 和B不相容（ ）
（2）则 或 （ ）
二、填空题
1.设事件 , 互不相容， ，则 =， 。
2.已知 则
3.若 ,则 , ,
A. 不相容B.
C. D.
3.已知 ,则
A.0.6B.0.5 C.设 ,则
A. 与 互不相容 B. 与 相互对立
C. 与 相互独立 D. 与 互不独立
5.设事件 和 满足 ,则
A． 是必然事件 B、 包含事件
C. D
三、设 ,试将下列4个数：
按由小到打的顺序用不等号 联结起来，并分别对每个不等号指明何时成为等号。
4.某工厂生产的一批产品共有100个，其中5个次品。从这一批产品中任取一半来检查，则次品不多于1个的概率为
5.假设1000件产品中有200件不合格产品，依次作不放回抽取两件产品，则第二次抽取到不合格产品的概率是
二、选择题
1.设 , , 是三事件，与事件 互斥的事件是（ ）。
A. B. C. D.
2.设 与 不相容， ,则下列结论肯定正确的是
第一章概率论的基本概念
习题一 随机试验、随机事件
一、判断题
1. （ ）
2. （ ）
3. （ ）
4.若 ，则 （ ）
5.若 ，则 （ ）
6.若 ,则 （ ）
7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则
（1）事件“含有红球”为必然事件；（ ）
（2）事件“不含白球”为不可能事件；（ ）
（3）事件“含有白球”为随机事件；（ ）
他选对了，则他知道正确答案的概率为
二、选择题
1.若 ,则
A． B.
C. D.
2.设
A． B.
C. D.
3.设 , , 是三个相互独立的随机事件，且 则下列四对事件中，
不相互独立的是
A． B.
B. D.
4.若
A.0.16；B.；C.；D.
5.甲乙二人独立对同一目标各射击一次，命中率分别为和 。现已知目标被击中，则它是甲击中的概率
5.随机地向半圆 （ 为正常数）内投掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于 的概率为
6.一射手对同一目标独立地进行四次射击，如果至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为
7.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是
（1）一位新工人完成生产定额的概率为多少
（2）若一位新工人已完成生产定额，他参加过培训的概率是多少
6.一口袋中有6个球，对其中球的颜色有三种看法：
袋中有四只红球和两只白球；
袋中有三只红球和三只白球；
袋中有两只红球和四只白球；
对这三种看法的某人认为其发生的可能性分别为：
某人从口袋中任取一球，得到了白球。此时他应该如何修正自己的看法呢
6.设某人射击命中率为 。在10次射击中，求它至少命中一次的概率
四、证明下列各题
1.设 证明;
2.已知事件 与 本身相互独立，证明：
第一章 考研训练题
一、填空题
1.已知 则事件A,B,C全不发生的概率
2.设
3.设 是任意两个随机事件，则
4.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为
C. 若 ,则 , 一定独立 D. 若 ,则 , 不一定独立
（2）第一次从袋中任取一球，不放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率。
5.城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已销售2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求：
（1）该顾客购到正品的概率；
（2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少
五、有三只盒子，在甲盒子中装有2枝红芯圆珠笔，4枝蓝芯圆珠笔，乙盒中装有4枝红芯圆珠笔，2枝蓝芯圆珠笔，丙盒中装有3枝红芯圆珠笔，3枝蓝芯圆珠笔。今从其中任取一只。设到三只盒子取物的机会相同。
1.求它是红芯圆珠笔的概率；
2.若已知取得的是红芯圆珠笔，问它取自甲乙和丙哪个盒子的可能性大
六、求证下列各题成立：
A. B. C. D.
三、计算下列各题
1.已知 ,若满足条件：
（1） 与 互不相容
（2）
（3）
试分别求出 的值
2．已知 ,试求
3.两封信随机投降标号为1，2，3，4的四个邮筒，问第2号邮筒恰好投入一封信的概率是多少
4.袋中有3个红球和2个白球
（1）第一次从袋中任取一球，随即放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率；
1.两人投中次数相等的概率；
2.甲比乙投中次数多的概率。
六、证明下列各题
1.已知 ，证明 相互独立；
2.设 , , 三个事情相互独立，试证： 皆与 相互独立。
第一章复习题
一、填空题
1.已知 ，则
2.设随机事件 与 互不相容。已知
则 （ ）， （ ）