常考问题14 空间中的平行与垂直
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1．(2013·无锡模拟)对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；
②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；
③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
④若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β.
其中正确命题的序号是________．
解析 n 有可能平行于α或在α内，所以①不正确；n 有可能在α内，所以②不正确；α可以与γ相交，所以③不正确．
答案 ④
2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m ；②若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；
③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ；④若l ∥α，m ∥α，则l ∥m .
则其中正确命题的序号是________．
解析 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．
答案 ①②
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中
点，则三棱锥B -B 1EF 的体积为________．
解析 VB -B 1EF ＝VE -B 1FB ＝13S △B 1BF ·EB ＝13×12×2×1×1＝13.
答案 13
4．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a ⊥b
的条件是________(填序号)．
①a ⊂α，b ∥β，α⊥β；②a ⊥α，b ⊥β，α⊥β；
③a ⊂α，b ⊥β，α∥β；④a ⊥α，b ∥β，α∥β.
解析 由①a ⊂α，b ∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.
答案 ②③④
5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD
的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF
的长度等于________．
解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面
ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的
中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝
2.
答案 2
6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号______(写出所有真命题的序号)．
解析 ①②为课本上的结论，是真命题；③α和β不垂直时，α内也有一组平行直线垂直于l ；④l 与α内的两条直线垂直不能得出l 与α垂直，如α内的两条直线平行时，则不能推出l ⊥α.
答案 ①②
7．(2011·泰州模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上
(M ，N 不与B 1，C 1重合)，且AM ＝BN ，那么①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面，以上4个结论中，正确结论的序号是________．
解析 过M 作MP ∥AB 交BB 1于P ，连接NP ，则平面MNP ∥平面A 1C 1，所以MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，又AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥MN .当M 与B 1重合，N 与C 1重合时，则A 1C 1与MN 相交，所以①③正确．
答案 ①③
8．(2011·苏中四市调研)在正三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，
下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确结论的序号是________．
解析 如右图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正
△ABC 的中心．
①可证AC ⊥平面PBO ，所以AC ⊥PB ；
②AC ∥DE ，可得AC ∥面PDE ；③AB 与DE 不垂直．
答案 ①②
9．(2013·苏州调研)如图，四边形ABCD 是矩形，平面
ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .
(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；
(2)点F 在BE 上．若DE ∥平面ACF ，求BF BE
的值． (1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC .
因为平面ABCD ⊥平面BCE ，
平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面
ABCD ，
所以AB ⊥平面BCE .
因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB .
因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，
AB ∩BE ＝B ，
所以CE ⊥平面ABE .
因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE .
(2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF .
因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，
所以DE ∥OF .
又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，
所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12.
10．(2012·泰州学情调研)如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面
ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为
BC 的中点，求证：(1)平面BDO ⊥平面ACO ；(2)EF ∥平
面OCD .
证明 (1)∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA
⊥BD ，
∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又OA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥
平面OAC ，
又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO .
(2)取OD 中点M ，连接EM ，CM ，则ME ∥AD ，ME ＝12AD ，
∵ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∵F 为BC 的中点，∴CF ∥AD ，CF ＝12AD ，
∴ME ∥CF ，ME ＝CF .∴四边形EFCM 是平行四边行，
∴EF ∥CM ，
又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD .
∴EF ∥平面OCD .
11．(2013·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1
中，AC ＝4，CB ＝2，AA 1＝2，∠ACB ＝60°，E 、F
分别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ；
(2)证明：C 1F ∥平面ABE ；
(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥P -B 1C 1F 的体积．
(1)证明 在△ABC 中，∵AC ＝2BC ＝4，∠ACB ＝60°，由余弦定理得： ∴AB ＝23，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，
∴AB ⊥BC ，
由已知AB ⊥BB 1，又BB 1∩BC ＝B ，∴AB ⊥面BB 1C 1C ，
又∵AB ⊂面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BB 1C 1C .
(2)证明 取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM
在△ABC ，FM ∥AB ，而FM ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，
∴直线FM ∥平面ABE
在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点，∴C 1E 綉AM ，四边形AMC 1B 是平面四边形，∴C 1M ∥AE
而C 1M ⊄平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴直线C 1M ∥ABE
又∵C 1M ∩FM ＝M ，∴平面ABE ∥平面FMC 1，而CF 1⊂平面FMC 1， 故C 1F ∥平面AEB .
(3)解 取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥A 1B 1，所以EH ∥AB 且EH ＝12AB ＝3，
由(1)得AB ⊥面BB 1C 1C ，∴EH ⊥面BB 1C 1C ，
∵P 是BE 的中点，
∴VP -B 1C 1F ＝12VE -B 1C 1F ＝12×13S △B 1C 1F ·EH ＝ 3.
备课札记：。