第八章
空间解析几何与向量代数
单元测试题
参考答案 ：
一、填空题
1. 点 M
x, y, z
关 于
x
轴 的 对 称 点 为
M 1
x, y,
z
; 关 于
xOy
平 面 的 对 称 点 为
M 2
x, y, z ；关于原点的对称点为
M 3
x, y, z
.
2. 平行于 a ={1，1，1}的单位向量为
1
1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50}
3
平行，
为
1
.
5
3. 已知两点 M 1 4, 2,1
和 M 2 3,0,2 ，则向量 M 1 M 2 在三个坐标轴上的投影分别是 1
–
2 、 1
，在坐标轴方向上的分量分别是
i 、
2 j 、 k , M 1 M 2
2 ,
方向余弦 cos
1 、 cos
2
、 cos 1 , 方向角 1200 、
2 2
2
1350
、 60 0 , 与 M 1 M 2 同方向的单位向量是
1 ,
2 , 1 .
2 2 2
4. 已知两向量 6 4 j 10 k ， b
3i 4 j 9k
, 则 a 2b
12i 4 j 8k ，
ai
3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在 oz 轴上的投影为 48 .
x
t
2
5．过点 M (1,2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0
z t 1
二、选择题
1. 向量 a 与 b 的数量积 a b =（ C ）.
A
a rj
b a ；
B a
rj a b ； C
a rj a
b ； D
b
rj a b ．
2. 非零向量 a, b 满足 a b
0 ，则有（ C
）．
A a ∥ b ;
B a b ( 为实数 )； C
a b ； D a b 0．
3. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0 是（ A ）． A a ∥ b 的充要条件；
B
a ⊥
b 的充要条件 ;
C
a b 的充要条件；
Da ∥ b 的必要但不充分的条件．
4. 设 i , j , k 是三个坐标轴正方向上的单位向量，下列等式中正确的是（ C ）.
A. k j i ,
B. i j k ,
C. i i k k ,
D. k k k k
5 设 a,b ,c , d 为向量，则下列各量为向量的是（ D ） .
A. Pr j b a
B. b c d
C. a b c d
D. a b c
6. 设 a 2i 3 j 4k, b 5i j k ，则向量c 2a b 在y轴上的分向量是（ B ）．
A 7
B 7 j
C –1；
D -9 k
7. 以下结论正确的是（ D ）
A. a
2
a
2 2
B. a b a b sin a, b b b
C. 若a b a c 或 a b a c ，且a 0，则 b c
D. a b a b 2a b
2 x2 y2 4z2 9
表示（ B ） .
8.方程组
1
x
A 椭球面；
B x 1平面上的椭圆；
C 椭圆柱面；
D 空间曲线在x 1平面上的投影 .
9. 设空间直线的对称式方程为x y
z 则该直线必（ A ） .
0 1 2
A 过原点且垂直于x 轴；
B 过原点且垂直于y 轴；
C 过原点且垂直于z 轴；
D 过原点且平行于x 轴.
三、计算题
1、求旋转抛物面z x2 y 2与平面y z =1的交线在 xy 平面上投影方程
z x2 y 2 解从曲线方程
z 中消去 z ，得曲线向xy平面得投影柱面方程
y 1
2
x 2 y 2 y 1。

于是曲线在xy平面商得投影曲线的方程为x2 y 1 5
2 4 z 0
2.提示点法式
3 提示：过已知直线作垂直于已知平面的平面方程{用平面束 }
4. 求过点(1,2,3)且与直线L：x 1 y 1 z 垂直相交的直线方程. 解: 过点作垂直已知直线的平面方程为( x 1) ( y 2) ( z 3) 0 ,
x 1 t
由y t 代入平面得垂足 (5,4,-3)
z 1 t
所求直线方程为
x 1 y 2 z 3
4 2 6
5 求过直线x y 2z 3 0 且切于球面 x2 y 2 z2 1的平面
2x y z 0
解过所给直线除平面2x y z 0 外的其它所有平面方程为
x y 2z 3 2x y z 0
即 1 2 x 1 y 2 z 3 0 *
球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径
于是
0 0 0 3 1
1 2 2 1 2 2 2
得 6 2 2 3 0 1 19
6
代入 * 得两个所求的平面
6 . 求锥面z x2 y2 与柱面 z2 2x 所围立体在三个坐标面上的投影
z 0, x
2
y2 1; 1
z2 2
解: x 0, 1 y 2 1,z 0;
2
y 0, x z 2x.。