k

证明：Z x(n m)u(n) x(x(n m)u(n) x(n m)zn
n0
令 k nm 则 nkm


Z x(n m)u(n) x(k)zk zm zm x(k)zk
n0
x(n)( z )n X ( z )
n0
a
a 15
（四）Z域尺度变换（序列指数加权）
同理：
Z anx(n) X (az) Rx1 az Rx1 Z (1)n x(n) X (z) Rx1 z Rx1
在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交 替跳跃
dz
n0
dz

x(n) (n)z(n1)
n0

z1 nx(n) zn
n0
Z nx(n) (z) dX (z)
dz
13
（三）Z域微分（序列线性加权）
例：已知 u(n) z
z 1
求n·u(n)的Z变换
解： n u(n) (z) d [ z ] dz z 1
k
同理： Z x(n m) zm X (z) 4
（二）位移性质
单边Z变换的位移性质
1、若x(n)是双边序列，其单边Z变换为：
Z x(n) u(n) X (z)
左移
Z x(n m) u(n) z

k 0
X (z) x(k)z

m
m1
x(n)的Z变换为
X (z) X1(z) 1 zN z2N

X1(z)
zN zN 1
z 1
9
（二）位移性质
例：已知单边Z变换 an z , z a za
其中an是双边序列
求 an-1u(n), an-1u(n-1) 的单边Z变换。
解：设 x(n) an 则 x(n 1) an1
Z ax(n) by(n) aX(z) bY(z), R1 z R2
其中a,b为任意常数， R1 max Rx1, Ry1 R2 min Rx2 , Ry2 2
（二）位移性质
双边Z变换： x(n)是双边序列
若 Z x(n) X (z) 则 Z x(n m) zm X (z)
1、由单边Z变换公式
an1u(n) z1 X (z) x(1)z
z1 z 1 za a
10
（二）位移性质
2、anu(n)是单边序列，所以an-1u(n-1)的Z变换为
an1u(n 1) z1X (z)
z1 z za
即 an1u(n 1) 1 za
x(n) x(n N) n 0
令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有 限长序列，所以其Z变换为
N 1
X1(z) x1(n)zn z 0
n0
8
（二）位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示，为
x(n) x1(n) x1(n N ) x1(n 2N )
第四章 Z变换
4.1 Z变换及其收敛域 4.2 Z反变换 4.3 Z变换的性质 4.4 Z变换与拉普拉斯变换的关系
1
4.3 Z变换的性质
这些性质表示离散序列在时域和Z域间的关系
（一）线性性质
若 Z x(n) X (z), Rx1 z Rx2 则 Z y(n) Y (z), Ry1 z Ry2
11
（三）Z域微分（序列线性加权）
x(n)是有始序列
若 Z x(n) X (z)
则 Z nx(n) (z) dX (z)
dz

证明： X (z) x(n)zn
n0
对上式两边求导，得
12
（三）Z域微分（序列线性加权）
dX (z) x(n) d (zn )
16
（五）初值定理
若x(n)是单边序列，且 Z x(n) X (z)
则 x(0) lim X (z)
z
17
（六）终值定理
若x(n)是单边序列，且 Z x(n) X (z)
则 lim x(n) lim(z 1) X (z)
n
z1
终值定理使用的条件
1、只有在n时x(n)收敛的情况，才能用它 来确定x(n)的值。
2、X(z)的收敛半径应小于或等于1
18
（七）时域卷积定理
若 Z x(n) X (z), Rx1 z Rx2 Z y(n) Y (z), Ry1 z Ry2
m
1
k
2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：
Z x(n m) u(n) z X (z) m
Z x(n m) u(n) z

k 0
X (z) x(k)z

m
m1
k
7
（二）位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换 解：若周期序列x(n) 的周期为N，即
k m
k m

zm



x(k ) z k

m1
x(k
)
zk

k 0
k 0


zm

X
(z)

m1
x(k ) z k


k 0

6
（二）位移性质
右移

k m

Z x(n m) u(n) z X (z) x(k)z

(z
z 1)2

n
u(n)

(z
z 1)2
14
（四）Z域尺度变换（序列指数加权）
若 Z x(n) X (z), Rx1 z Rx2
则 Z anx(n) X ( z ) a
Rx1
z a
Rx1

证明：Z an x(n) an x(n)zn
证明：根据双边Z变换的定义

Z x(n m) x(n m)zn
n
3
（二）位移性质
Z x(n m) x(n m)zn
n
令 k=n+m,则上式变为

Z x(n m) x(k)z(km)
k

x(k)zk zm zm X (z)