右移
2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：
Z x(n m) u(n) z m X ( z)
k 0 Z x(n m) u(n) z m X ( z ) x(k ) z k m1
7
（二）位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换
即
a
n 1
1 u( n 1) za
11
（三）Z域微分（序列线性加权） x(n)是有始序列 若 则
Z x(n) X ( z )
dX ( z ) Z nx ( n ) ( z ) dz
证明：
X ( z ) x(n) z
n 0

n
对上式两边求导，得
12
（三）Z域微分（序列线性加权）
x(n)的Z变换为
X ( z) X1( z) 1 z
X1( z) z
N N

N
z
2 N


z 1
z 1
9
（二）位移性质
例：已知单边Z变换
其中an是双边序列
z a , z a za
n
求 an-1u(n), an-1u(n-1) 的单边Z变换。 解：设
x(n) a
dX ( z ) d (z ) x(n) dz dz n 0

n 0

n
x ( n ) ( n ) z
1 n 0

( n 1)
z
nx(n) z
n
dX ( z ) Z nx ( n ) ( z ) dz
13
（三）Z域微分（序列线性加权）
n
R az R Z (1) x(n) X ( z) R z R
n x1 x1
x1 x1
在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交 替跳跃
16
（五）初值定理
若x(n)是单边序列，且 则
z
Z x(n) X ( z )
x (0) lim X ( z )
17
z Z a x(n) X ( ) a
n


z Rx1 Rx1 a
n n
证明：Z
a x(n) a x(n) z
n n 0
z n z x(n)( ) X ( ) a a n 0
15
（四）Z域尺度变换（序列指数加权）
同理：
Z a x(n) X (az)
Z ax(n) by(n) aX ( z) bY ( z), R1 z R2
其中a,b为任意常数，
R2 min Rx 2 , Ry 2
2
（二）位移性质 双边Z变换： x(n)是双边序列 若 则
Z x(n) X ( z )
Z x(n m) z X ( z)
证明： Z x(n m)u(n) 左移
n 0
x ( n m) z

n
5
Z x(n m)u(n) x(n m) z
n 0
（二）位移性质
n
令
k nm
则
n k m
k m
Z x(n m)u(n)
x(k ) z

k
z
m
z x(k ) z
k

( k m )
k
x(k ) z z
m
z X ( z)
m
Z x(n m) z X ( z)
m
4
（二）位移性质
单边Z变换的位移性质
1、若x(n)是双边序列，其单边Z变换为：
Z x(n) u(n) X ( z )
k 0 Z x(n m) u(n) z m X ( z ) x(k ) z k m1
第四章
4.1 4.2
Z变换
Z变换及其收敛域 Z反变换
4.3 4.4
Z变换的性质 Z变换与拉普拉斯变换的关系
1
4.3
（一）线性性质
若 则
Z变换的性质
这些性质表示离散序列在时域和Z域间的关系
Z y(n) Y ( z), RБайду номын сангаас1 z Ry 2
R1 max Rx1, Ry1
Z x(n) X ( z), Rx1 z Rx 2
n 1
n
则
x(n 1) a
n1
1、由单边Z变换公式
a u(n) z
1
X ( z) x(1) z
z 1 za a
10
z
1
（二）位移性质
2、anu(n)是单边序列，所以an-1u(n-1)的Z变换为
a
n1
u(n 1) z X ( z)
z
1
1
z za
m k m

k
m1 m k k z x(k ) z x(k ) z k 0 k 0
m 1 m k z X ( z ) x(k ) z k 0
6
（二）位移性质
k m Z x(n m) u(n) z m X ( z ) x(k ) z k 1
z 例：已知 u( n ) z 1
求n· u(n)的Z变换
d z 解： n u( n ) ( z ) [ ] dz z 1
z 2 ( z 1) z n u( n ) 2 ( z 1)
14
（四）Z域尺度变换（序列指数加权） 若 则
Z x(n) X ( z), Rx1 z Rx2
（六）终值定理 若x(n)是单边序列，且
解：若周期序列x(n) 的周期为N，即
x( n) x(n N ) n 0
令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有 限长序列，所以其Z变换为
X1( z )
N 1 n 0
x1(n) z
n
z 0
8
（二）位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示，为
x(n) x1(n) x1(n N ) x1(n 2 N )
m
证明：根据双边Z变换的定义
Z x(n m)
n
x ( n m) z

n
3
n Z x ( n m) x ( n m) z n
（二）位移性质
令 k=n+m,则上式变为
Z x(n m)

同理：

k
x(k ) z