j Im( z )
z 1，
z z 1
ROC: z 1
收敛域： 右边序列圆外的区域
1 0
Re( z )
3、指数序列
x( n) a u( n)
n
n
右边 序列
X (z) a z
n 0

n n
z , | z || a | za
z a
左边 序列
x n a u n 1
右边序列 左边序列
x1 ( n ) 0, n 0; x1 ( n ) x ( n ), n 0 x 2 ( n ) 0, n 1, x 2 ( n ) x ( n ), n 1
n n x ( n ) z X1(z) X 2 (z) 1
x( n) a n u n 1
n 1
n2 = -1
Rx 2 1 1 | a | n limn | x( n) | limn | a | n
n
z X z za
RO C ：| z | | a |
例3
Rx 2
n2 0 x ( n ) 1 n n2 2
双边序列的 ROC 是 Rx1< |z| < Rx2 的圆环。 ROC 内不包含任何极点（以极点为边界） ；
（三） 典型序列的z变换
1、 单位样值函数的z变换
1 ( n) 0
X (z)
( n)
1 1 0 1
n
n0 n0
n
n
( n) z

(0) z 0 1
ROC:整个 z 平面
ZT[ (n m)] z
m
2、单位阶跃序列的z变换
1 u( n) 0
X (z)

u( n)
n0 n0

1 10 1 2 3
L
n
n
n n u ( n ) z z n 0
X ( z ) 1 z 1 z 2 z 3 L
对 xs ( t ) 取拉氏变换
n 0
n 0
X s ( s ) Lxs (t ) L x ( nT ) (t nT ) n 0
X s s L[ x(nT ) (t nT )] x(nT ) e
n 0 n 0


snT
5、 X(z) 零 极点 及其与收敛域的关系

零点
使X(z)取值为0的z

极点
使X(z)取值为无穷大的z

极点均落在收敛域之外
总
结
有限长序列的 ROC 为整个 z 平面（可能除去 z=0 和 z=） ；
n1<0 右边序列的 ROC 在半径为 Rx1 的圆外(可能除去 z=， ） ； n2>0 左边序列的 ROC 在半径为 Rx2 的圆内(可能除去 z=0） ；
第6章 z变换, 离散系统 的z域分析
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算 机的研究和实践，推动了z变换的发展； •20世纪70年代引入大学课程； •主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 等问题。
n1 < 0, n2 ≤ 0
0≤ |z| < ∞
0 < |z| < ∞
n2 3 n1 ≥ 0, n2 > 0
n2 3 n n1 n 2
n1 < 0, n2 > 0
0 < |z| ≤ ∞
n n = 0 n ≤ |z| ≤ ∞ xn X ( z) (1 n= )z0, 2 x ( n) z 0
n0 n0
1 Rx 1 , Rx 2 2 3
j Im(z )
1 z 2 ROC: 3
1/3 2
0
Re(z )
4、 单边 z变换的收敛域
X ( z ) x ( n) z n
n 0
∴ 单边z变换的ROC跟因果序列一样，为：
n | x ( n) | |z| >Rx1 lim n
x(n) 0, n n1
X (z)
n n1 n x ( n ) z
利用根值判定法
若 l imn | x( n) z n | 1 成立，则X(z)收敛
n
| z | l i mn | x( n) | R x 1
n
n1 < 0, Rx1< |z| < ∞ n1 ≥ 0, Rx1 < |z|
n 0
单边z变换 对任一信号x ( n )的（双边）z变换式为
X (z)
n n x ( n ) z
双边z变换
（一） z 变换的定义
任一信号x(n) 的z变换定义为：
X (z)
n x ( n ) z ZT[ x( n)]
n
双边z变换
X ( z ) x ( n) z

n2ห้องสมุดไป่ตู้
令：m = - n
X (z)
m n2
x(m)z

变量替换
m
X (z)
n n2
n x ( n ) z
1 | z | Rx 2 n lim | x( n) |
n
n2 ≤ 0, |z| < Rx2 n2 > 0, 0 < |z| <Rx2
左边序列的收敛域是半径为 Rx2 的圆内部分

x(nT )e snT (0)dt x(nT )e snT
n 0 0 n 0


X s ( s ) x ( nT )e snT
n 0

其中
s σ jω

引入复变量
z e sT ， 为连续变量 ，将x nT 表示为x n
X s ( s ) |z e sT x ( n ) z n X ( z )
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义
z 变换的收敛域
典型序列的z 变换
《信号与系统》
BUPT EE
§6.1

z变换的定义与收敛域
z 变换的定义——两种定义方式：
借助抽样信号的拉氏变换引出
直接对离散时间信号给出z变换定义
z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z 变换
x( t ) xs ( t )
n n
X (z)
n
x ( n) z n

，
n


x ( n) z n
n a lim n 令： n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x ( n ),
n
n1 n n2
n 0

n
单边z变换
ze
sT
z 为复数: z＝Re(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)
（二） z变换的收敛域
1、收敛域的定义
对于任意给定的有界序列 x(n)，能使级数X ( z ) x( n) z n
n
收敛的所有 z 值之集合。即满足下式的区域：
n
A/ D
x k (n) 数字滤 波器
x n
g k ( n)
g( t )
D/ A
p( t )
xs t x nT t nT
O
T 2T
t

O
1 2
n

x s ( t ) x ( t ) T ( t ) x (t ) (t nT ) x ( nT ) (t nT )
证明： (略) X s ( s ) [ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
改变积分与求和顺序 x(nT ) (t nT )e st dt
n 0 0
x(nT ) (0)e snT dt
n 0 0
n2 n n1
x(n),
n x ( n ) z
n1 n n2
0≤ |z| < ∞ 0 < |z| < ∞ 0 < |z| ≤ ∞
n1
n2
n1
n2
n1 = 0, n2 = 0
0 ≤ |z| ≤ ∞
n1
n2
有限长序列的收敛域至少为 0 < |z|n1 < ∞。 n2
例
n1 2,
X ( z ) x ( n )z n
n 0
X1(z)的ROC：|z| >Rx1 X2(z)的ROC：|z| < Rx2
X(z)的ROC：Rx1<|z|< Rx2
前提
双边序列的收敛域是内径为 Rx1,外径为 Rx2 的环形部分
例8-4
1 n ( 3 ) x ( n) n 1 2
z , | z || a | za

( a )z
n
1
n
[ (az ) 1] (a 1 z ) n 1
1 n n n 0
0
1 z X 2 ( z ) ( )1 , 1 1 a z za
(z a)
不同序列，可能对应于相同的 z 变换，但具有不同的收敛域， 故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
x ( 2) z 2 x ( 1) z 1 x (0) z 0