L≥N+M-1 用循环卷积实现线性卷积的过程如图所示。
x(n)
x(n)
X(k)
补零扩展
L 点 DFT
N点
L点
相乘
X(k)H(k)
y(n) L 点 IDFT
h(n) M点
h(n) 补零扩展
L点
L 点 DFT H(k)
2. 经典谱估计法有哪两种方法？二者有何不同？
答：经典谱估计法包括相关估计法和周期图法。
h(t) = 1 e −(a+ jb)t + 1 e −(a− jb)t
2
2
对 h(t)作周期为 T 的等间隔采样，得
h(n) = h(t)
[ ] = 1 e −(a+ jb)nT + e −(a− jb)nT
2 t = nT
对 h(n)取 Z 变换，得 IIR 数字低通滤波器的系统函数为
∑ H (z) =
A2
sin(ωt
+ ϕ0 ) sin
ω(t
+τ) +ϕ0
dt
令ωt + ϕ0 = α
则dt = 1 dα， 且ωT = 2π ω
∫ ( ) 故Rxx
(τBiblioteka )=lim
T →∞
A2 2π
T / 2 sin 2 α cosωτ + sin α cosα sin ωτ dα
−T / 2
= A2 cosωτ 2
x1 (k)x2 (n − k )⎥⎦⎤ n=0
= x1 (0) ⋅ x2 (0)
又傅里叶反变换公式，得
∫ ∫ x1(n)
=
1 2π
π −π
X1 (e
jω )e
jωn dω
，
x2 (n)
=
1 2π
π −π
X
2
(e
jω
)e
jωn dω
则
∫ ∫ x1(0)
=
1 2π
π −π
X 1 (e jω )dω
，
x2 (0)
5. 设模拟滤波器的系统函数为
H (s)
=
(s
s+a + a)2 +
b2
试利用冲激响应不变法，设计 IIR 数字低通滤波器。
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解：将 H(s)展开成部分分式，得
H (s) = s + a = 1/ 2 + 1/ 2 (s + a)2 + b2 s + a + jb s + a − jb
对 H(s)取拉氏反变换，得
x2 (n)
=
y(n)
=
1 2π
π Y (e jω )e jωn dω
−π
∫ = 1
2π
π −π
X 1 (e
jω
)X 2 (e
jω
)e
jωn dω
令上式的左右两边 n=0，得
∫ ∑ 1
2π
π −π
X 1 (e jω ) X 2 (e jω )dω
=
x1 (n) ∗ x2 (n)
n=0
=
⎡n ⎢⎣k =0
=
1 2π
π −π
X
2
(e
jω
)dω
所以
∫ ∫ ∫ 1
2π
π −π
X1 (e
jω
)X 2 (e
jω
)dω
=
{21π
π −π
X1 (e
jω
)dω}{21π
π −π
X
2 (e
jω
)dω}
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⎟⎟⎠⎞
=
3
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
+
5
sin⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
3 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
+
10
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
6 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
=
3
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
−
5
sin⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛1 ⎝
−
2 5
⎞⎟n ⎠
⎟⎟⎠⎞
+
10
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛1 ⎝
+
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
=
3
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
−
5
sin⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
2 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
+
10
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
=
13 cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
−
5 sin ⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
2 5
∫ ∫ ∫ 1
2π
π −π
X1 (e
jω
)X 2 (e
jω
)dω
=
{21π
π −π
X1 (e
jω
)dω}{21π
π −π
X
2 (e
jω
)dω}
证：设 y(n) = x1 (n) ∗ x2 (n)
则由时域卷积定理，得
即
Y (e jω ) = X 1 (e jω ) X 2 (e jω )
∫ x1(n) ∗
∞
h(n)z −n
n=0
=
1⎡
1
2 ⎢⎣1 − e −(a+ jb)T z −1
+
1
−
e
−(
1
a−
jb
)T
z
−1
⎤ ⎥⎦
=
1
−
1 − (e−aT cos bT )z −1 (2e−aT cos bT )z −1 + e−2aT
z
−2
二. 简答题（共 21 分，7 分/题） 1. 利用循环卷积计算线性卷积的条件是什么？试用框图表明其实现过程。 答：设两个有限长序列 x(n)、h(n)的点数分别为 N 和 M，其循环卷积的长度为 L，则要用循 环卷积计算线性卷积的条件是：循环卷积的长度 L 必须不小于线性卷积的长度 N+M-1，即
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
2. 设 x(n)的傅里叶变换为 X(ejω)，试利用 X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换：
（1） x1(n) = x(1 − n) + x(−1 − n) （2） x(n) = 1 [x(n) + x∗ (−n)]
2 解：（1）由于 DTFT[x(n)] = X (e jω ) ， DTFT[x(−n)] = X (e− jω )
二者的不同在于：相关估计法是通过数据的自相关序列来求功率谱的，而周期图法则是
由数据直接用离散傅里叶变换来求功率谱的。
3. 数字滤波器从实现方法上可分为哪两类？从特点上看，二者的最大区别在于什么？
答：数字滤波器从实现方法上可分为 IIR 滤波器和 FIR 滤波器。
二者的最大不同的特点在于：FIR 滤波器是具有严格线性相位的数字滤波器，而 IIR 滤
则
DTFT[x(1 − n)] = e− jω X (e− jω )
DTFT[x(−1 − n)] = e jω X (e− jω )
故 DTFT[x1 (n)] = X (e− jω )[e− jω + e jω ] = 2 X (e− jω ) cosω （2）由于 DTFT[x∗ (−n)] = X ∗ (e jω )
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故 DTFT[x2 (n)] =
X (e jω ) + X ∗ (e jω ) 2
=
Re[ X (e jω )]
3. 已知两个有限长序列为
x(n)
=
⎧n + 1， ⎩⎨0，
0 4
≤ ≤
n n
≤ ≤
3 6
y(n)
=
⎧− 1， ⎩⎨1，
0≤n≤4 5≤n≤6
试作图表示 x(n)，y(n)以及 f(n) =x(n)○7 y(n)。
合肥工业大学试卷参考答案（B 卷）
2003~2004 学年第 二 学期 学生学号
课程名称 数字信号处理 学生姓名
考试班级自动化 01-1~7 班 成绩
一. 计算题（共 60 分，12 分/题） 1. 设模拟信号 x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率 fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是
解：其结果如图所示。
4. 随机相位正弦波
x(t) = Asin(ωt + ϕ0 )
式中，A,ω均为常数，φ0 在 0~2π内随机取值，试求其自相关函数。 解：由自相关函数的定义式，得
∫ Rxx
(τ
)
=
lim
T →∞
1 T
T x(t)x(t + τ )dt
0
∫ [ ] = lim 1 T →∞ T
T /2 −T / 2
波器的相位特性是非线性的。
三. 作图题（共 7 分，7 分/题） 1. 试绘制出 N=8 时基-2 按时间抽取法（DIT）的 FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输 出自然数顺序）。 解：
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