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∑
n =0
N −1
x (n) =
2
1 N
∑ X (k )
k =0
N −1
2
证：由 DFT 的定义，可知
∑
n =0
N −1
x ( n ) = ∑ x ( n) x * ( n)
2 n =0
N −1
⎡ 1 N −1 − kn ⎤ = ∑ x(n) ⎢ ∑ X (k )W N ⎥ n =0 ⎣ N k =0 ⎦ N −1 N −1 1 kn = ∑ X * (k )∑ x(n)W N N k =0 n =0
Y (k ) = X (k ) H (k )
4 计算 Y(k)的 IFFT 变换，则求得序列 x(n)、h(n)的 N 点线性卷积 x(n)*h(n)，即 ○
x(n) ∗ h(n) = y (n) = IFFT [ X (k ) H (k )]
此快速卷积过程如图所示，图中，N≥N1+N2-1，且 N=2M（M 为整数） 。
= 3 x1 ((n − 3)) 6 R6 (n)
注意： R N (n) 也就是教材中的 d ( n ) 。
则根据循环移位的概念，将序列 x1(n)循环右移 3 个单位后乘以 3 并取其主值序列（n=0~5） 即可，其结果如图所示。
4. 随机相位正弦波
x(t ) = A sin(ωt + ϕ 0 )
现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号 y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？ 解：已知采样角频率Ωs=6π，则由香农采样定理，可得 因为 x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率 Ω h1 = 2π < 因为 x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率 Ω h2
式中，A,ω均为常数，φ0 在 0~2π内随机取值并服从均匀分布，试求其自相关函数。 解：由自相关函数的定义式，得
1 T x(t ) x(t + τ )dt 0 T →∞ T ∫ 1 T /2 2 = lim ∫ A sin(ωt + ϕ 0 ) sin[ω (t + τ ) + ϕ 0 ]dt T → ∞ T −T / 2 令ωt + ϕ 0 = α R xx (τ ) = lim
则dt =
1
ω
dα， 且ωT = 2π A2 T / 2 sin 2 α cos ωτ + sin α cos α sin ωτ dα ∫ − / 2 T T → ∞ 2π A2 = cos ωτ 2
故R xx (τ ) = lim
(
)
5. 设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为 2 的整数幂，假定没有采用任何特 殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz，如果采用的采样时间间隔为 0.1ms，试确定： （1） 最小记录长度； （2） 所允许处理信号的最高频率； （3） 在一个记录中的最小点数。 解： （1）因为 T0=1/ F0，而 F0≤10Hz，所以
x ( n) N1 点 h(n) N2 点 补零扩展 x(n) N点 相乘 补零扩展 h(n) N点 N 点 FFT X (k ) N 点 FFT X(k)H(k) N 点 IFFT x(n)*h(n)
H(k)
2. 我们可以用哪三种表达式来描述一个线性时不变离散系统？ 答：描述线性时不变离散系统的表达式有：差分方程、单位抽样响应和系统函数。 3. 如何从含有噪声的信号中提取出周期信号？并说明其道理。 答：通过做信号的自相关分析，便可以从含有噪声的信号中提取出周期信号。 因为周期信号的自相关函数仍为周期信号，而随机信号的自相关函数为零。 4. 采用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时， 常用的窗函数有哪些？若用窗函数法设计 FIR 数 字低通滤波器时，发现主过渡带太宽的情况，应采取哪些措施？ 答：在用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时，常用的窗函数有矩形窗、三角形窗、汉宁窗、 哈明窗等。 若用窗函数法设计 FIR 数字低通滤波器时，发现主过渡带太宽的情况，应采取的措施 1 加大窗口长度；○ 2 换其它形状的窗。 有：○ 三. 证明题（共 10 分，10 分/题） 1. 已知长度为 N 的有限长序列，其离散傅里叶变换为 X(k)，证明：
X (e j 0 ) =
n = −∞
∑
∞
x ( n ) e − j 0⋅ n =
n = −∞∑ x( n源自 = 6∞（2）由于 ej0=1，则由序列的傅里叶反变换公式可知 n=0，故
∫ π X (e
−
π
jω
)dω = ∫ X (e jω )e j 0 dω = 2π x(n) n =0 = 2π ⋅ 2 = 4π
合肥工业大学试卷参考答案（A 卷）
2003~2004 学年第 二 学期 学生学号 课程名称 数字信号处理 学生姓名 考试班级 自动化 01-1~7 班 成绩
一. 计算题（共 50 分，10 分/题） 1. 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs=6π，采样后经理想低通滤波器 Ha(jΩ)还原， 其中
⎧1 ⎪ ， Ω < 3π H a ( jΩ ) = ⎨ 2 ⎪0 ， Ω ≥ 3π ⎩
又因 N 必须为 2 的整数幂 所以一个记录中的最少点数为 N=210=1024。 二. 简答题（共 40 分，10 分/题） 1. 采用 FFT 算法，可用快速卷积实现线性卷积。现欲计算两个长度分别为 N1 和 N2 的有限 长序列 x(n)、 h(n)的线性卷积 x(n)*h(n)， 试写出该快速卷积算法的计算步骤 （注意说明点数） 。 M 1 将序列 x(n)、h(n) 补零至长度 N，其中：N≥N1+N2−1 且 N=2 （M 为整数） 答：○ ； 2 利用 FFT 算法分别计算序列 x(n)、h(n)的 N 点离散傅里叶变换 X(k)、H(k)； ○ 3 计算频谱 X(k)、H(k)的乘积，即 ○
N −1
*
= =
1 N 1 N
∑X
k =0 N −1 k =0
N −1
*
(k ) X (k )
2
∑ X (k )
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ω
6π = 3π ，所以 y1(t)无失真； 2 6π = 5π < = 3π ，所以 y2(t)失真。 2
ω
2. 设 X(ej )是如图所示的信号 x(n)的傅里叶变换，不必求出 X(ej )，试完成下列计算： （1） （2 ）
X (e j 0 )
∫ π X (e
−
π
jω
)dω
解： （1）由序列的傅里叶正变换公式可知ω=0，则
T0 ≥
即最小记录长度为 0.1s。
1 s 10
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（2）因为 f s = 所以
1 1 = × 10 3 = 10kHz ，而 fs>2fh T 0 .1 fh < 1 f s = 5kHz 2
即允许处理信号的最高频率为 5kHz。 （3） N ≥
T0 0.1 = × 10 3 = 1000 T 0.1
−π
π
3. 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
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解：由循环卷积的定义，可知
6 x ( n) = [ x (( n)) ○ * x ((n )) ]R ( n) y (n) = x1 (n) ○ 2 1 6 2 6 6 * 3δ ((n − 3)) ]R ( n) = [ x1 ((n)) 6 ○ 6 6