第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§ 1 定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1. 曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:已知函数在区间上可积 .用定义求积分例1.等分区间作为分法, . 取解取.=.上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .由函数在区间例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 .例3四、小结：指出本讲要点§ 2 Newton — Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （N — L公式）( 证 )例1求ⅰ> ; ⅱ> ;例2 求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:在区间上有界.Th 9.2 ，二、充要条件:1.思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的及介点无关的条件 .双逼原理考查积分和有极限, 且与分法和下和. 研究它们的性质和当时有方案: 定义上和相同极限的充要条件 .在区间上有界. 并设2. Darboux和: 以下总设函数,其中确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法、和记相应于分法的上（大）和、下（小）唯一确定.分别用和与积分和.积分和是数集(多值) . 但总有, 因此有. 和的几何意义 .3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux 定理.是的加细 .先用分点集定义分法和精细分法: 表示, 则, . 即 : 分法加细, 大性质1 若和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何, 有, . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 )和 , 总有. 即: 小和不会超过大和 .性质3 对任何证.性质4 设是 添加个新分点的加细. 则有+,.证 设是只在 中第 个区间内加上一个新分点 所成的分法, 分别设, , .显然有 和 . 于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式.可类证第一式. 系 设分法有个分点，则对任何分法 ，有， .证 ..4. 上积分和下积分: 设函数在区间 上有界. 由以上性质2 ，有上界 ，有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义 记,. 分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数, 和存在且有限 , .并且对任何分法, 有. 上、下积分的几何意义.例1 求和. 其中是Dirichlet 函数 .5. Darboux 定理 :Th 1 设函数在区间上有界, 是区间的分法 .则有=,=.证 ( 只证第一式 . 要证 : 对使当时有.是显然的. 因此只证 . ),对, 使<设有个分点, 对任何分法 , 由性质4的系, 有,由*式, 得<即<亦即<.于是取, ( 可设, 否则为常值函数, =成立. ) 对任何分法, 只要, 就有对任何分法.此即=.6. 可积的充要条件:在区间上有界.Th 2 （充要条件1 ）设函数= .证设=, 则有=. 即对时有使当| | < 对, 使, 于是,在每个上取| | = < .因此, 时有| | | | + | | < + = .=. 由Darboux定理 , = .此即同理可证= . = ., 有, 而对任何分法== = .和的共值为, 由双逼原理=.令Th 9.3 有界.对.证( ) = 0. 即对时,., 由,–, = .定义称为函数易见有0 . 可证=对.Th 3’的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法:在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时, 可试当函数用时, 倘能用总长小于, 否则盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间<, 对如此构造的分法的其余部分作分割，使在每个小区间上有, 有 <.在区间上有界.Th 4 ( (R)可积函数的特征 ) 设对和, 使对任何分法, 只要, 对应于的那些小区间的长度之和.证, 只要, 就有使对任何分法.的区间总长小于此时有对==三．可积函数类：1．闭区间上的连续函数必可积：Th 5 （证）2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 .Th 6 （证）推论1 闭区间上按段连续函数必可积 .在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则推论2 设函数函数在区间上可积.例2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积：Th 7 （证）例3证明在上可积.§ 4 定积分的性质（2学时）教学要求：理解并熟练地应用定积分的性质；教学重点：理解并熟练地应用定积分的性质；一.定积分的性质:1.线性性质:. （证）Th 1 —Const , 且Th 2 , , 且.（证）综上 , 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:.Th 3 ,证和或恒为零 ). 插项估计, 有.( 否则.……但一般.3. 关于区间可加性:在区间和上可积，,并有Th 4 有界函数. ( 证明并解释几何意义 )规定, .系设函数在区间上可积 . 则对, 有. （证）4. 积分关于函数的单调性:, 且, .（证）(反Th 5设函数之确否?). 其中和分别为函积分的基本估计:数5. 绝对可积性:(注意.)Th 6设函数,,且证以证明; 以证明不等式.该定理之逆不真. 以例做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 ( 积分第一中值定理 ), 使. （证）==. （证）, 使.二. 举例:. 试证明:例1设.其中和是内的任二点, {}, .例2 比较积分与的大小.例3 设但. 证明>0.例4 证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明.§5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一. 变限积分与原函数的存在性引入：由定积分计算引出 .1.变限积分: 定义上限函数，（以及函数）. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.其中函数思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：则面Th 10 微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数在上可导，且=.积函数时, 面积函数可导且在点的导即当数恰为被积函数在上限的值. 亦即是系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理在上可积，Th11 （积分第二中值定理）设函数（i）若函数上增，且，则存在，使得（ii）若函数在推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得二．换元积分法与分部积分法：1.换元积分法Th 12 设函数满足条件：ⅰ>, 且;ⅱ>在上有连续的导函数.则. （证）例1. ( P225 )例2. ( P225 )例3 计算. ( P225—226 ) 该例为技巧积分. 例4 . 该例亦为技巧积分.例5 已知 , 求例6 设函数连续且有求积分是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则例7设，（. ）例8 ..2. 分部积分法Th13 ( 分部积分公式 )例9例10计算.解=；解得直接求得，. 于是,当为偶数时, 有;当为奇数时, 有.三. Taylor公式的积分型余项: P227—229.习题课（2学时）一．积分不等式：1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1 证明不等式.证注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , ……例2证明不等式.证考虑函数, . 易见对任何, 在区间上和均单调, 因此可积,且有, 注意到, 就有. 而,.因此有.取, .在区间仿以上讨论, 有. 而，.综上 , 有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理: 设函数和在区间上可积. 为区间的等分分法, . 若对任何和, 均有, 即得.令, 注意到函数和在区间上可积, 即得积分不等式.和连续 , 还可由倘若函数.例3证明Schwarz 不等式 ( 亦称为Cauchy–Буняковский在区间上连续 ( 其实只要可积就可 ).不等式 ): 设函数和则有不等式.证法一( 由Cauchy 不等式Schwarz不等式 . Cauchy 不等式参和为两组实数, 则有阅上册 : 设. )为区间的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有设,两端同乘以, 有,, 注意到函数、和在区间上的可令积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二（用判别式法）对任何实数，有，, 即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有,即.且. 证明不等式例4.. 对函数和应用Schwarz证取不等式, 即得所证 .在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式例5 设函数.证先用Jensen不等式法证明不等式 : 对, 有不等式.为区间的等分分法. 由上述不等式 , 有设., 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以令的连续性，就有积分不等式.及函数和仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 .二. 面积函数的导数 :例6 求和例7 求和例8 求 .=)例9 设时函数连续且.求.(连续且. 求和.例10 设函数. 两端求导, = .例11 设.=.试证明 :=.证 =,=.例12 设函数在区间上连续且>0. .试证明: 函数在区间内严格递增.证 = , 而.>0 , 在内，又 连续 ，，在区间 内>0 . 因此 在区间内严格递增.三. 含有变限积分的未定型极限:例13 求极限 . ( 2 )四. 定积分的计算 :例 14 计算积分.例15计算积分=.解时, =;时, =;.时, =因此,例16利用积分的值 , 计算积分.解.,而 ,.因此，例17 , 求 ( 2)是区间上连续的偶函数 . 试证明 :例18 设是上的奇函数 .证法一.证法二注意到, 有=.=五. 利用定积分求和式极限 :原理: 用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.例19 求极限. [3] P163 E13 . 与§1例2连系.例20 求极限.解==.由函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 , 有=..例21 求极限.解==.,.因此, .例22 试证明: 对任何,有不等式< .证=是函数=在区间[ 0 ,1 ]上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有时, ↗. 又易见↗↗.对任何, 有< , 即< .。