勾股定理 应用题一．解答题（共21小题）1．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P 点出发沿木箱表面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路程． QPA2．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A 沿纸箱外表面爬到点B ，那么它所行的最短路线的长是多少？B A3．有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子到B 点，正好B 点在A 点的正上方，已知油罐的周长为12m ，高AB 为5m ，问：所建梯子最短需多少米？ BA4．吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．图3图2图1A 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1D DB B AA C C CB A（1）如图（1）正方体的棱长为5cm ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿正方体表面爬到点C 1处；（2）如图（2）长方体底面是边长为5cm 的正方形，高为6cm ，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A 沿长方体表面爬到点C 1处；（3）如图（3）是底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A 沿圆柱体表面爬到点C 处．5．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm ，高AB=60cm ，水深为AE=40cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm ；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？GFEBAC6．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？8．如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少cm？9．如图所示是一段楼梯，已知AC=5m，CD=7m，楼梯宽BD=5m，一只蚂蚁要从A点爬到B点，求蚂蚁爬行的最短路程．DB AC10．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边BC 、AC 分别为6m ，8m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的面积．（图2，图3备用）C A B 图3C A图2图1B A C11．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？12．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）D13．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA 22=2+1=2，1S ；OA32=12+2=3，S；2OA42=12+2=4，S…3（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA n2=；S n=．（2）求出OA10的长．（3，计算说明他是第几个三角形？（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．14．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．15．老张家有一块草坪如图所示．家里想整理它，需要知道其面积．老张测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB．请你帮老张家计算一下这块草坪的面积．16．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m 选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．C60°30°DBA17．如图，受台风影响，一棵大树在高于地面5米处折断，大树顶部落在距离大树底部12米处的地面上，问这棵大树原来有多高？18．装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？2.219．小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．≈1.73≈1.41≈2.24）BA20．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ．（1）台风中心经过多长时间从B 移动到D 点？（2）已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D 的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ BA21．蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到了D 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）勾股定理应用题解析一．解答题1．【解答】解：如图所示，∵PB=AB=6，AQ=2，∴BQ=6+2=8，∴PQ=10．答：蚂蚁爬行的最短路程是10．QA2．【解答】解：如图（1）所示：如图（2）所示：AB==10．10，∴最短路径为10．答：它所行的最短路线的长是10．8C CA B (2)(1)83333BA3．【解答】解：如图所示：∵AC=12m ，BC=5m ，∴AB=13m ，答：梯子最短需要13m ．125C B A4．【解答】解：（1）如图，AC 1． C 1B 1A 1A（2）分两种情况：①如图，AC 1C 1B 1A 1DBA②如图，AC 1CB 1AB＞，所以最短路程为．（3）若展开圆柱体，BC 为周长的一半，如图所示：DCB A∵底面周长为10cm ，∴AD=5cm，∴cm．可见最短路程的长为．5．【解答】解：（1）如图所示，AQ +QG 为最短路程．E FA 1D C BA（2）∵在直角△AEG 中，AE=40cm ，AA ′=120，∴A ′E=80cm ，又EG=60cm ，∴AQ +QG=A ′Q +QG=A ′G=100cm ．∴最短路线长为100cm ．6．【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB=25（尺）．答：葛藤长为25尺．7．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：x 2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是25dm ．20233232B A8．【解答】解：如下图所示：Q P∵长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．∴PA=4+2+4+2=12（cm ），QA=5cm ，∴PQ=13cm ．∴蚂蚁爬行的最短路径长为13cm ．9．【解答】解：如图所示，∵AC=5m ，CD=7m ，BD=5m ，∴AB=13（cm ）．答：蚂蚁爬行的最短路程是13cm ．57D AB10．【解答】解：D BA AB图3AB图2图1在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，（1）如图1，当AB=AD时，CD=6m，则△ABD的面积为：12BD•AC=12×（6+6）×8=48（m2）；（2）如图2，当AB=BD时，CD=4m，则△ABD的面积为：12BD•AC=12×（6+4）×8=40（m2）；（3）如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x﹣6，则x2=（x﹣6）2+82，∴x=253，则△ABD的面积为：12BD•AC=12×253×8=1003（m2）；答：扩充后等腰三角形绿地的面积是48m2或40m2或1003m2．11．【解答】解：（1）由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，∴可求b=7米；（2）不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，得方程，b2+（24﹣4）2=252，解得b=15，所以梯子向后滑动了8米．综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米．cab12．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，∴AB=12（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，∴CD=13﹣0.5×10=8（米），∴（米），∴BD=AB ﹣AD=12（米）， 答：船向岸边移动了（12）米．13．【解答】解：（1）结合已知数据，可得：OA n 2=n ；S n=（2）∵OA n 2=n ，∴OA 10（3，根据：S n=∴说明他是第20个三角形，…（4）S 12+S 22+S 32+…+S 102=12344104444+++⋯++=554．14．【解答】解：∵AD ∥BE ∴∠ABE=∠DAB=60°∵∠CBE=30°∴∠ABC=180°﹣∠ABE ﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt △ABC 中，∴AC =200，∴A 、C 两点之间的距离为200km ．15．【解答】解：连接AC ，∵AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°，∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，∵CD=12米，DA=13米，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∴草坪的面积等于=S △ABC +S △ACD =3×4÷2+5×12÷2=6+30=36（米2）．16．【解答】解：（1）正确画出草图：EDA（2）过点C 作CE ⊥AD 于点E ，由题意得，AB=30m ，∠CAD=30°，∠CBD=60°，故可得∠ACB=∠CAB=30°，即可得AB=BC=30m ，设BE=x ，在Rt △BCE 中，可得x ，又∵BC 2=BE 2+CE 2，即900=x 2+3x 2，解得：x=15，即可得．答：小丽自家门前的小河的宽度为．17．【解答】解：根据勾股定理可知：折断的树高=13米，则这棵大树折断前的树高=13+5=18米．18．【解答】解：如图所示：由勾股定理得：AB2=1.52+1.52=4.5，∴BC≈3.05（米）；即放入电梯内的木条的最大长度大约是3.05米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．19．【解答】解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴米，BD=x米，+x=150﹣10，解得x=701）（米），∴楼高701）米．（2）x=701）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小华的观点，这楼不到20层．20．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD=240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．21．【解答】解：分别求AB，BC，CD，AB=5cm，BC=13cm，CD=10cm，所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28cm．故本题答案为28cm．。