电动力学习题及答案第0章 绪论及数学准备练习一1、设,,i j k为直角坐标系的三个单位矢量，计算下列各式:解：（1） ()()()2A B A B A B B A B A +⨯-=-⨯+⨯=⨯，（2） ()(),()0a a b a a b a a b ⋅⨯=-⋅⨯∴⋅⨯=， (3） 2()()()()a b a a a b a b a a b a a b ⨯⨯=⋅-⋅=-⋅ ， （4） ()1j i k k k ⨯⋅=-⋅=-， （5） ()1k i j j j ⨯⋅=⋅=(6) 若()()M b a c a b c =⋅-⋅ ，则M c ⋅=，解：()()()()0M c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=（7） ()()[()][()()]()()()()a b c d c a b d c a d b b d a a c b d a d b c ⨯⋅⨯=-⋅⨯⨯=-⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅（8） ()()()()()()()()()0a b c b c a c a b a c b a b c b a c b c a c b a c a b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=（9） ():()AB CD =解：():()()()A B C D B C A D =⋅⋅2、利用矢量A B 、的分量式，证明C AB BA C ⋅=⋅证明：(1) 333111,,,i ij j k k i j k A Ae B B e C C e ======∑∑∑33333331111111,,i j i j k k j i j ii j j i i j k m n m n AB A B e e C C e BA B Ae e A B e e ===========∑∑∑∑∑∑∑3,,1,,,33,,1,,1,()(),()(),k i j k i j k i j ki ji j k i j ki i j j i i j j i j j ij i k j i k j i k j kii j k i j k j i i j i i j j i jjiC AB C A B e e e C A B e C A B e C A B e C A B BA C B AC e e e B AC e B AC e C A B e C A B δδ===⋅=⋅====⋅⋅=⋅====⋅∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（注：这里01= j ij δ≠⎧=⎨⎩当i j时当i 时）}练习二1、设(')(')(')x y z r x x e y y e z z e =-+-+-为从源点指向场点的矢量, r k E ,0为常矢量, ,,,,u v A g f是,,'''x y z x y z 以及，，的函数。

则(1) (y-y'x-x'z-z'r xyzxyzxyzrrr r r e e e e e e ∂∂∂∂∂∂∇=++=++=')',x x r y y z z r r ---⎛⎫= ⎪⎪⎪==⎭同理，;(2) (y-y'x-x'z-z'''''r xyzx y zx y z r rr rr e e e e e e ∂∂∂∂∂∂∇=++=---=-(3) 23111'()'(d r rr r dr r r r r∇=∇=--=(4) ()()()()()()()f u f u f u u u u x y z x y z df u df u f u i j k i j k udu du∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++=++=∇ (5) ()()[(')(')(')]x y z x y z x y z k r e e e k x x k y y k z z ∂∂∂∂∂∂∇⋅=++-+-+-(')(')(')x x y y z z x xy yz zxyze k e k e k k ∂-∂-∂-∂∂∂=++=(6) (')(')(')3x x y y z z x y z r ∂-∂-∂-∂∂∂∇⋅=++=(7)22()22r k r k r r k r k ∇⋅=∇⋅=∇⋅=⋅(8) ()a r ⋅∇=1()(')(')(')][(')(')(')][(')(')(')][(')(')(')].x y z x y z x y z x x y z y x y z x y z x y z x x y y z z z a r a a a x x e y y e z z e a x x e y y e z z e a x x e y y e z z e a x x e y y e z z e a e a e a e a ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⋅∇=++-+-+-=-+-+-+-+-+-+-+-+-=++=法：()[(')(')(')][(')(')(')][(')(')(')][(')(')(')](x y y x y z x y z x x y z y x y z x y z x y z x x y y z z z r e e e x x e y y e z z e e x x e y y e z z e e x x e y y e z z e e x x e y y e z z e e e e e e e ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++-+-+-=-+-+-+-+-+-+-+-+-=++法2：单位张)()()()()().x x y y z z x x y y z zx x y y z z a r a r a e e e e e e a e e a e e a e e a e a e a e a ∴⋅∇=⋅∇=⋅++=⋅+⋅+⋅=++= 量 (9) ()()()()()()()()y y x x z z A u dA u A u dA u A u dA u dA u u uuxyzdu xdu ydu zduA u u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⋅=++=++=∇⋅(10) 30,?r r when r ≠∇⋅=()3334353333311(0r r r r r r r r r r r r r r ⋅∇⋅=∇⋅+∇⋅=-∇⋅+=-+=(11) [sin()]0000()[sin()][sin()]()cos()d k r d k r E k r k r E k r E k E k r ⋅⋅∇⋅⋅=∇⋅⋅=∇⋅⋅=⋅⋅[cos()]0000()[cos()][cos()]()sin()d k r d k r E k r k r E k r E k E k r ⋅⋅∇⋅⋅=∇⋅⋅=∇⋅⋅=-⋅⋅(12) 0000()()()ikr ik r ik rik r de d ik r E e e E ik r E ik E e ⋅⋅⋅⋅⋅∇⋅=∇⋅=∇⋅⋅=⋅(13) ()()()[()]()()()3()3()3()df r df r df r r dr dr r drrf r r f r f r r f r r r f r r f r r ∇⋅=∇⋅+∇⋅=+∇⋅=+⋅=+(14) ()?A ∇⋅∇⨯=1()]0()()()0y y x x z z x y z xyzxy z A A A A A A x yx zy zy xz xz yA A A A A A A ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⋅∇⨯==-+-+-=∇⋅∇⨯=-∇⋅∇⨯∴∇⋅∇⨯=法：法2： ,(15) =⨯∇r0'''xyzxyze e e x x y y z z ∂∂∂∂∂∂=---(16) 证明 ()dAA u u du∇⨯=∇⨯()()()()()()()((()()()()y y x x z z xyzA u A u A u A u A u A u x y z xyzy zz x x y x y z e e e A u e e e A u A u A u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-()()()()()()()()()y y x x z z dA u dA u dA u dA u dA u dA u uuu u u u x y z du ydu zduzdu xduxdu ye e e ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-()()()()()()()()()(((y y x x z z y x z x yzdA u dA u dA u dA u dA u dA u uu u u u u u u u x y z xy zy du zduz du x du x du y du dA u dA u dA u du dudue e e dA u e e e du∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-()dAA u u du∴∇⨯=∇⨯(17) 2311(00r r r r r r r r r r r r∇∇⨯=∇⨯+∇⨯=-⨯+=-⨯=(18) 333453311(00r rr r r r r r r r r r ∇∇⨯=∇⨯+∇⨯=-⨯+=-⨯= , (19) ()a r ∇⋅⨯=？1()()0a r a r ∇⋅⨯=-⋅∇⨯=法：()'''[(')(')][(')(')][(')(')]0xyzxy zy z z x x y x y z a r a a a x x y y z z a z z a y y a x x a z z a y y a x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⋅⨯=---=---+---+---=法2：(20) ()A ∇⋅∇⨯=？1()0()()()0y y x x z z x y z A A A A A A xyzx yx zy zy xz xz yx y zA A A A A A A ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⋅∇⨯==-+-+-=∇⋅∇⨯=-∇⋅∇⨯∴∇⋅∇⨯=法： 法2：(21) [sin()]0000()[sin()][sin()]()cos()d k r d k r E k r k r E k r E k E k r ⋅⋅∇⨯⋅=∇⋅⨯=∇⋅⨯=⨯⋅(22) ()()[()]()()()00df r df r r drdr rrf r r f r f r r r r r ∇⨯=∇⨯+∇⨯=+∇⨯=⨯=(23) 222222((()0u u u u u u x y z y zz yz xx z x yy xu u u xyzijku i j k ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯∇==-+-+-=(24) 0000()()()ikr ik r ik rik r de d ik r E e e E ik r E ik E e ⋅⋅⋅⋅⋅∇⨯=∇⨯=∇⋅⨯=⨯(25) 试证明 ()ug u g u g ∇⨯=∇⨯+∇⨯方法1: ()()()c c c c ug u g ug u g u g u g u g ∇⨯=∇⨯+∇⨯=∇⨯+∇⨯=∇⨯+∇⨯;方法2:()()()()()()()[)(([(((]()()(y x x x z z y y x x z z xyzug ug ug ug ug ug x y zxyzy zz x x y x yzg g g g g g u ux y z z y x y z z x x y y zu u ux z y z xe e e ug e e e ug ug ug u e e e g g e g g e ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-=-+-+-+-+-+ )u y x z x y g g e u g u g ∂∂∂-=∇⨯+∇⨯(26) 试证明 21-4(')x x rπδ∇=-。