当n 7时，Tn 20 17 (23 3n)
(20 23- 3n)n 3 n2 43 n
2
22
当n 7时，Tn a1 a2 a7 a8 an
77 1 4 (3n 23)
77 (1 3n - 23)(n - 7) 3 n2 43 n 154
2
22
Tn
3
2
3 n2 2 n2
43 n 2
43 n 154 2
(n 7, n N*） (n 8, n N*）
2a1
nd
d
0
n d 2a1 而 d 2a1 1 2a1 （15，16）
d
d
d
n最小值为16。
分析二：a8 0 S15 15a8 0
a9 a8 a8 a9 0 S16 8（a1 a16）
8（a8 a9） 0 n的最大值为16。
1、等差数列中，Sm n, Sn m, 则Smn _-(_m__+_n_)。
从第二项起为等差数列；
1、公差与通项
例1、(2006年高考全国)设{an}是公差 为正数的等差数列，a1 a2 a3 15, a1 a2 a3 80,则a11 a12 a13 __B___。
A 120 B 105 C 90 D 75
练习、等差数列中，am n, an m,
则amn ___0___。
解： m n m n n
mn
mnn
n m
Smn m
m n mn n
mn
m
Smn m n。
例4、等差数列中，S4 62，S6 75， 设Tn a1 a2 an ,求Tn。
解：S4 4a1 6d 62
a1
20
S6 6a1 15d 75 d 3
an 3n 23
1 2
设S偶 32t, S奇 27t,
则32t 27t 59t 354t 6
S偶 S奇 6项
例5、两等差数列{an}、{bn}前n项和
之比 Sn 2n 1 ,则 a7 _2_5_。 Tn 2n 1 b7 27
1、运用等差数列的公差与首项； 2、运用整体思想解题； 3、运用等差数列性质解题。
分析：若转化为首项与公差，则
am an
a1 (m 1)d n a1 (n 1)d m
d
1
amn am nd 0, 但计算稍复杂。 解：d am an amn am
mn mnm
nm mn
1
amn n n
amn
0。
2、整 体 思 想
例2、等差数列公差d 1，S99 99， 则a3 a6 a9 a99 __6_6__。
例6、等差数列中，a8 0, a9 a8 , 则使Sn 0的n的最小值为__1_6___。
分析一：转化为首项与公差
a1 7d 0 a1 7d, a9 a8
a1
8d
a1
7d
a1
15 2
d
15 2
d
a1
7d
15 a1 （ 7 d 0）
2d
Sn
0
na1
n(
n 2
1)
d
0
n d; 2
2 若n为奇数，S奇 S偶 an1 ;
2
(4)等差数列的通项an是n的 _一__次___ 函数或恒为_常__数___（d 0）;
（5）{Sn }为等差数列。 n
(6)若d
0, Sn
d 2
n2
(a1
d )n, 2
Sn为n的二次函数且常数项为0。
若Sn an2 bn c(c 0),则{an}
练习、(2006年江西文)等差数列公差{an}
前项和为Sn ,若OB a1 OA a200 OC,且A,
B,C三点共线(该线不过点O),则S200 ____1_0__0___
3S、n ,
Sn
,
S等n
n
例3、等差数列中，S10 100， S100 10,则S110 __-_1_1_0__。
1、等差数列关键是抓住定义,及其首项 与公差两大要素； 2、要注意把握好数列中的规律，多运 用整体思想和对称思想；
3、能灵活运用等差数列的性质:
(1)an am (n m)d,则d
an am nm
(2)若m n p q,则
am an ap aq ;
(3)等差数列有n项：
1 若n为偶数，S偶 S奇
4、 S奇、S偶
例4、等差数列前12项和为354，前 12项中偶数项之和与奇数项之和的 比为32：27，求公差。
分析：若化为首项与公差，则12a1 66d
354, 6a1 36d 32 ,可求d 5,但计算繁。 6a1 30d 27
解：由已知：SS偶奇： SS奇偶
354 32：27
2、等差数列中，a1 0,3a4 7a7, 则当Sn最大时，n ____。
3、设{an}为等差数列，Sn为{an}前n项和，
S7
7，S15
75，Tn为{
Sn n
}前n项和，求Tn。
分析：若转化为首项与公差，则计算相当
复杂,若考虑到{Sn }为等差数列，则比较 n
简单。 Sm Sn
Smn Sn