高考数学文试题分类汇编导数及其应用Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、(2016年山东高考)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是(A )sin y x = (B )ln y x = (C )e x y = (D )3y x =2、(2016年四川高考)已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a=(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)23、(2016年四川高考)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)= 图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)4、(2016年全国I 卷高考)若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是(A )[]1,1-(B )11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C )11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D )11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 二、填空题1、(2016年天津高考)已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数,则(0)f '的值为__________.2、(2016年全国III 卷高考)已知()f x 为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x e x --=-,则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.三、解答题1、(2016年北京高考)设函数()32.f x x ax bx c =+++(I )求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(II )设4a b ==,若函数()f x 有三个不同零点,求c 的取值范围;(III )求证:230a b ->是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.2、(2016年江苏省高考)已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1) 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值;(2)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.3、(2016年山东高考)设f(x)=x ln x–ax2+(2a–1)x,a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.4、(2016年四川高考)设函数f(x)=a x2-a-lnx,g(x)=1x-ee x,其中a∈R,e=…为自然对数的底数。
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立。
5、(2016年天津高考)设函数b ax x x f --=3)(,R x ∈,其中R b a ∈,(Ⅰ)求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:0201=+x x ;(Ⅲ)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于...41.6、(2016年全国I卷高考)已知函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2.(I)讨论f(x)的单调性;(II)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.7、(2016年全国II 卷高考) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程; (Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围.8、(2016年全国III 卷高考)设函数()ln 1f x x x =-+.(I )讨论()f x 的单调性;(II )证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x-<<; (III )设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->.9、(2016年浙江高考) 设函数()f x =311x x++,[0,1]x ∈.证明: (I )()f x 21x x ≥-+; (II )34<()f x 32≤.2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、(2016年山东高考)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 (A )sin y x =(B )ln y x =(C )e x y =(D )3y x =【答案】A2、(2016年四川高考)已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、(2016年四川高考)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、(2016年全国I 卷高考)若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是(A )[]1,1-(B )11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C )11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D )11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C二、填空题1、(2016年天津高考)已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数,则(0)f '的值为__________. 【答案】32、(2016年全国III 卷高考)已知()f x 为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x e x --=-,则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、(2016年北京高考)设函数()32.f x x ax bx c =+++ (I )求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(II )设4a b ==,若函数()f x 有三个不同零点,求c 的取值范围; (III )求证:230a b ->是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解:(I )由()32f x x ax bx c =+++,得()232f x x ax b '=++. 因为()0f c =,()0f b '=,所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+. (II )当4a b ==时,()3244f x x x x c =+++, 所以()2384f x x x '=++.令()0f x '=,得23840x x ++=,解得2x =-或23x =-.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下:所以,当0c >且32027c -<时,存在()14,2x ∈--,222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()()()1230f x f x f x ===.由()f x 的单调性知,当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点.(III )当24120a b ∆=-<时,()2320f x x ax b '=++>,(),x ∈-∞+∞, 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增,所以()f x 不可能有三个不同零点. 当24120a b ∆=-=时,()232f x x ax b '=++只有一个零点,记作0x . 当()0,x x ∈-∞时,()0f x '>,()f x 在区间()0,x -∞上单调递增; 当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在区间()0,x +∞上单调递增. 所以()f x 不可能有三个不同零点.综上所述,若函数()f x 有三个不同零点,则必有24120a b ∆=->. 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.当4a b ==,0c =时,230a b ->,()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点,所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件. 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 2、(2016年江苏省高考)已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(2) 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值;(2)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值. 解:(1)因为12,2a b ==,所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =,即222x x -+=,亦即2(2)2210x x -⨯+=, 所以2(21)0x -=,于是21x =,解得0x =.②由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-. 因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立,且()0f x >,所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=,且2((0))44(0)f f +=, 所以4m ≤,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数()()2g x f x =-只有1个零点,而00(0)(0)220g f a b =-=+-=, 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x x g x a a b b =+,又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>, 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =,则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+,从而对任意x R ∈,'()0h x >,所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数, 于是当0(,)x x ∈-∞,''0()()0g x g x <=;当0(,)x x ∈+∞时,''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数,在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <,则0002x x <<,于是0()(0)02xg g <=,又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=,且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断,所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点,记为1x . 因为01a <<,所以log 20a <,又02x <,所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >,同理可得,在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点,矛盾.因此,00x =. 于是ln 1ln ab-=,故ln ln 0a b +=,所以1ab =. 3、(2016年山东高考)设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间;(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析:(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞, 则()112'2axg x a x x-=-=, 当0a ≤时,()0,x ∈+∞时,()'0g x >,函数()g x 单调递增; 当0a >时,10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0g x >,函数()g x 单调递增,1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()'0g x <,函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时,函数()g x 单调递增区间为()0,+∞;当0a >时,函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()'10f =.①当0a ≤时,()'0f x <,()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时,()'0f x <,()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时,()'0f x >,()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值,不合题意. ②当102a <<时,112a >,由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增, 可得当当()0,1x ∈时,()'0f x <,11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x >,所以()f x 在(0,1)内单调递减,在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以()f x 在x=1处取得极小值,不合题意. ③当12a =时,即112a=时,()'f x 在(0,1)内单调递增,在 ()1,+∞内单调递减, 所以当()0,x ∈+∞时,()'0f x ≤, ()f x 单调递减,不合题意. ④当12a >时,即1012a << ,当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x >,()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时,()'0f x <,()f x 单调递减, 所以f(x)在x=1处取得极大值,合题意. 综上可知,实数a 的取值范围为12a >. 4、(2016年四川高考)设函数f(x)=a x 2-a -lnx ,g(x)=1x -ee x ,其中a ∈R,e=…为自然对数的底数。