• 当气流为层流且阻力系数高时，空气流经 球体，空气和球的表面接触的边界层“分 离”得比较早，并在其后产生旋涡。然而， 当气流为湍流时，边界层维持时间较长。 这将对球产生一个很小的阻力。
在阻力系数下降临界点的雷诺数由球的表 面粗糙度而定。例如，高尔夫球，表面有 很多坑，具有相当高的表面粗糙度，所以 阻力系数下降在较低雷诺数（~2 × 10e4）。 然而足球，比高尔夫球表面光滑很多，达 到临界点需要一个更高的雷诺数（~4 × 10e5）。
• 阻力FD，与速度v的平方成正比，密度为r， 球的横截面面积A（设为常数），则 FD = CDrAv2/2。然而，阻力系数CD，也取决于 球的速度。举个例子，如果我们绘制一幅 阻力系数对雷诺数（一个无量纲参数，等 于rvD/μ，其中D是球的直径，μ是运动学黏 性系数）的二维图，我们发现，当球的表 面的气流由层流变为湍流时，阻力系数突 然下降（见上图）。
• 在1976年彼得·比尔曼（Peter Bearman） 和他伦敦帝国学院的同事进行了一项关于 高尔夫球的一系列经典实验。他们发现， 增加球的旋转能产生较高的升力系数，形 成更大的马格纳斯力。但是，旋转速度不 变的情况下增加球速会降低升力系数。对 足球来说，一个转速很高但球速慢的足球 将比转速相同的快速球得到更大的侧向力。 所以当球运行到终点时，由于速度下降， 将会划出更明显的曲线。
• 如何用上述的一切来解释罗伯特·卡洛斯的 那记任意球呢？虽然我们不能完全肯定， 但是接下来的可能是比较合理的解释。
卡洛斯用左脚外脚背踢向足球，球逆时针 旋转（按他的视角从上往下看）。球的表 面比较干燥，所以球的转速很高，也许超 过每秒10转。外脚背踢球可以施加很大的 力，球的初速可能超过30m/s（70mph）。 球的表面流动的空气形成湍流，这使得球 的阻力相对较低。在球运行路径的某一点 （10米处，或人墙的位置）球的速度下降， 使空气在球体表面形成较稳定的层流。
足 球 在 线 / wenku1
足球中的物理学
对罗伯特·卡洛斯的任意球的分析
• 许多球迷都会记得，1997年在法国举行的四国赛 中巴西球员罗伯特·卡洛斯主罚的那脚任意球。球 距球门30米左右，稍微向右偏一些。卡洛斯将球 射向右边，足球过人墙时距人墙最右边至少1米， 使得门柱边几米远的球童迅速低头来躲避它。接 着，足球奇迹般地划了条曲线弯向左边，打入球 门右方死角——和场上球员们一样，守门员和媒 体都惊讶不已。
• 观察一个旋转轴与空气流动方向垂直的足 球（见下图）。球的一侧空气流动速度比 另一侧更快。根据伯努利原理，这一侧压 力减小。相反的作用发生在球的另一侧 （空气流速较慢）。因此，受力不再平衡， 球发生偏转——或者按照J.J.汤姆生在1910 年提出的那样“球遵循它的鼻子来运行” （这里的鼻子指球的前端）。这种球在飞 行中发生水平位移的现象一般被称为“马 格纳斯效应”。
• 这大幅增加了球的阻力，使它减速更甚。 侧向马格纳斯力增加，使得球路弯曲更大 朝向球门。假设转速衰减很少，那么阻力 系数增加。这引入了更大的侧向力，并造 成球路的进一步弯曲。最后，由于球变慢， 弯曲变得更加夸张（可能是由于升力系数 的增加），直到它击中了球网——这令所 有的人目瞪口呆。
• 那么我们可以从罗伯特·卡洛斯身上学到什 么？如果你踢球的力量足够大，使得球表 面的气流形成湍流，则阻力会很小，你很 可能踢成高射炮。如果你想踢香蕉球，那 么触球部位要偏离重心。这在任何情况下 都能实现，只不过干燥的天气下效果更明 显。当球速变慢，表面空气变成有序的层 流时球划出的曲线更明显。所以你需要不 断地练习，以确保这一转变出现在正确的 地方——例如，球刚飞过人墙。如果场地 湿滑，你仍然可以踢出香蕉球，但你最好 擦干球（还有你的球鞋）。
• 上述的结果显示一个缓慢移动的足球会受 到相对较高的制动力。但如果你能大力踢 球使其获得一个足够快的速度，使它表面 的气流形成湍流，足球将受到较小的制动 力（见上图）。因此一个快速移动的足球 将对守门员造成双重麻烦——不仅球速很 高，而且球速衰减比预期要慢。也许最好 的守门员直觉上对物理的理解比他们想象 的还要多。
• 空气中运行的旋转球的受力通常分为两种： 升力和阻力。升力是指向上或横向的力，
产生马格纳斯效应。阻力方向与球的运行 方向相反。
让我们计算踢任意球时的最佳力量。假设 球的速度是25–30 m/s，而自旋是每秒 约810转，那么，升力则是约3.5N，一个标准 的专业足球质量在410-450克之间，这意味 着它将具有约8m/s*s的加速度。此外，由 于球会1秒钟飞过30米，这个升力可以使球 比直线运行横向偏离多达4米。这样已经足 够对守门员造成很大的麻烦了。
显然，卡洛斯已经在训练场上对主罚任意球练习 多次了。他直觉般地知道如何给球一个特定的初 速度，并使其有一个特定的旋转能打出这种曲线。 然而，他可能并不知道这背后的物理原理。
• 球类运动中的空气动力学 一个旋转物体的横向位移最初是由瑞利勋 爵作出解释的，然后由德国物理学家古斯 塔夫·马格纳斯在1852年完成这项工作。马 格纳斯的出发点是在试图确定炮弹和子弹 在运行过程中发生横向偏移的原因，但他 的解释也同样适用于球类运动。事实尔夫、板球和网 球。
• 90多年前J.J.汤姆生在伦敦皇家学会介绍了 他对高尔夫球动力学演讲。他引述了以下 内容：“不计其数的贡献者给予的大量浩 繁文献上关于球的运行行为的解释，如果 我们接受这些解释...我必须在这个晚上宣布， 物质制成[高尔夫]球状时，在任何其他条件 下将体现出完全不同的性质。”至少，在 足球这里我们可以肯定它们服从的规律是 一样的。