必修4综合检测一、选择题(每小题5分,共60分） 1．下列命题中正确的是( )A ．第一象限角必是锐角 Ｂ．终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同 D ．不相等的角其终边必不相同 ２．将分针拨慢5分钟,则分钟转过的弧度数是 （ ）ﻩA.3πﻩＢ．－3π Ｃ．6πD ．－6π 3．已知角α的终边过点()m m P 34，-,()0≠m ,则ααcos sin 2+的值是( ） A ．１或－１ B.52或52- C.１或52- D ．-1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是( )Ａ.35(,)(,)244ππππ B ．5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππD.33(,)(,)244ππππ5. 若|2|=a ,2||=b 且(b a -)⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ )(A)6π (B)4π （C)3π(D ）π125 6．已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示,如果2||,0,0πϕϖ<>>A ,则( )A.4=AB.1=ϖC.6πϕ=D ．4=B7. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，,集合{}x y y x B ==|)(，，则( ） A ．B A ⋂中有３个元素 B ．B A ⋂中有１个元素 C.B A ⋂中有２个元素 D.B A ⋃R = 8．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A.247ﻩＢ.247-ﻩＣ.724D.724-9. 同时具有以下性质:“①最小正周期实π;②图象关于直线x ＝错误!对称；③在[-错误!]上是增函数”的一个函数是 ( )A. y=sin （错误!) B ． y ＝c ｏｓ（２x+错误!) ﻩＣ． y=sin （2x-错误!）ﻩ D. y ＝cos(２x-错误!) １0. 设i ＝（1,0),j=（0,1),a=２i ＋3ｊ,b=k ｉ-4j,若a ⊥b ，则实数k 的值为( ）A.－6 Ｂ.-3 C ．3 D.6１1． 函数)34cos(3)34sin(3x x y -+-=ππ的最小正周期为( ）A.32πﻩB ．3πC.8ﻩD.４1２. ２002年８月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（ )A.1B ．2524- C.257ﻩD.-257二、填空题（每小题4分，共１6分） １3． 已知3322cos2sin=+θθ,那么θsin 的值为 ，θ2cos 的值为 。
１4. 已知|ａ|＝3，|b|=5, 且向量ａ在向量b 方向上的投影为125,则ａ·b= 。
15. 已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点(O 为坐标原点)，那么⋅的最小值是________＿_＿＿_____＿＿。
1６.给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21;②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的２倍；③图像向右平移3π个单位；④图像向左平移3π个单位;⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。
请写出用上述变换将函数ｙ = ｓi ｎx 的图像变换到函数y = s ｉn (2x ＋3π)的图像的一个变换_______＿______．(按变换顺序写上序号即可)三、解答题(本大题共6小题,共7４分，解答应有证明或演算步骤） 1７、(12分）已知ｃos(α－2β)=19-,sin （2αβ-)=23,且α∈(2π,π)，β∈(0，2π）,求co ｓ2αβ+的值.1８． (１2分）已知434π<α<π,40π<β<,53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π,求()βα+sin 的值.19.（12分)已知向量)23sin 23(cosx x ，=a ,)2sin 2(cos xx -=，b ,)13(-=，c ，其中R ∈x .（Ⅰ）当b a ⊥时，求x 值的集合；（Ⅱ)求||c a -的最大值。
２０、（１2分）已知函数.,12sin sin 2)(2R x x x x f ∈-+= （1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）在平面直角坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象． ２１、(１2分）设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）(1）记),(31,,t +===那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线?（2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？2２、（１4分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向2００km 的海面P 处,并正以20km/h 的速度向北偏西θ方向移动(其中19cos 20θ=）,台风当前影响半径为1０ｋｍ,并以10km ／h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时间多长?参考答案C2. Ｄ３．Ｂ4、Ｂ5、B 6、Ｃ７、Ａ８、D 9、C. 10、D11、A １2、Ｄ13、31，9714、１2 1５．-8 16． ④②或②⑥１７、已知co ｓ(α-2β)＝19-,s ｉｎ(2αβ-)＝23，且α∈(2π,π),β∈(0，2π），求cos 2αβ+的值. １８. 解：∵434π<α<π ∴π<α+π<π42 又53)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又135)43sin(=β+π ∴1312)43cos(-=β+π∴ｓin(α + β) = -sin[π + （α + β)] = )]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-=１9解：（Ⅰ)由b a ⊥,得0=⋅b a ，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ．…………4分则02cos =x ,得)(4π2πZ ∈+=k k x .…………………………………5分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，4π2π|为所求.…………………………………6分 (Ⅱ）+-=-22)323(cos||x c a =+2)123(sin x )3π23sin(45-+x ,……………10分所以||c a -有最大值为３．……………………………………………………１2分 2０解：(Ｉ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+==)42sin(2π-x …………………………5分ﻩ所以)(x f 的最小正周期是π……………6分∈x R,所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Z)时，)(x f 的最大值为2.ﻩ即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ}………………8分 ﻩ(II ）图象如下图所示:(阅卷时注意以下3点)１.最小值2)83(=πf , 最小值2)87(-=πf .………………10分 ２．增区间];,87[],83,0[πππ减区间]87,83[ππ (2)３.图象上的特殊点:(0,－1),(1,4π),(1,2π),)1,(),1,43(--ππ………14分 ［注：图象上的特殊点错两个扣１分,最多扣2分]21、解：(1）A 、B 、C 三点共线知存在实数OB OA OC )1(,λλλ-+=使即b t a b a )1()(31λλ-+=+，…………………………………………………4分 则21,31==t 实数λ………………………………………………………………6分ﻩ(2）,21120cos ||||-=⋅=⋅ b a b a,12||22222++=⋅⋅-⋅+=-∴x x b a x b x a b x a ……………９分当23||,21取最小值时b x a x --=………………………12分22、解：如右图，设该市为A,经过t 小时后台风开始影响该城市,θ20020t10+10t北AC D则t 小时后台风经过的路程PC=(20t)ｋm,台风半径为CD=（１０+1０t ）km,需满足条件：C Ｄ≥ＡC2222222()2||||||2||||cos AC PC PA PC PA PA PC AC PC PA PA PC θ=-=+-=+-22219200(20)22002040000400760020t tt =+-=+- ∴222400004007600(1010)t t CD t +-≤=+ 整理得23007800399000t t -+≤ 即2261330t t -+≤ 解得719t ≤≤∴７小时后台风开始影响该市,持续时间达12小时。