广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x ，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x （1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x 骣琪--琪桫，∴充分性成立；当xy ≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos 21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 【答案解析】B 解析：∵cos 21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos 21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>【知识点】不等式的基本性质．E1 【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得；；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f ′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f ′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f ′（x ），导函数是奇函数， ∵x ∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B 、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x ≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m ≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围．【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα=B ．2cos 22sin ααα=C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=- 【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx ， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cos β），此时y=|cosx|=﹣cosx ． ∴切线的斜率为sin β=，∴βsin β=﹣cos β，∴2βsin βsin β=2sin βcos β，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ． 【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9.已知4823,log ,23x y x y ==+则的值为______________. 【知识点】对数的运算性质．B7【答案解析】3 解析：∵2x=3，∴x=log 23， 又∵，∴x+2y==．故答案为3．【思路点拨】由2x=3，得x=log 23，把化为以2为底数的对数，然后运用对数的和等于乘积的对数进行运算． 【题文】10．如图是函数5cos(2)6y x π=-在一个周期内的图象，则阴影 部分的面积是__________. 【知识点】定积分．B13 【答案解析】54解析：∵y=cos （2x ﹣），∴周期T==π，∴∴阴影部分的面积S=﹣cos （2x ﹣）dx+cos （2x ﹣）dx=﹣sin （2x ﹣）|+sin （2x ﹣）|=；故答案为：．【思路点拨】先根据函数关系式和图象，求得图象与x 的正半轴的另一个交点为（，0），再根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积． 【题文】11．若(0,)2πα∈，则22sin 2sin 4cos ααα+的最大值为 ．【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．C2 C6 【答案解析】12解析：∵，∴tan α＞0．∴====．故答案为：【思路点拨】利用利用三角函数基本关系式、基本不等式即可得出．【题文】12.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当y l ≥时，1yx +的取值范围是_______________. 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．B12 【答案解析】[14，34] 解析：∵f （x ）=x+sinx （x ∈R ）， ∴f （﹣x ）=﹣x ﹣sinx=﹣（x+sinx ）=﹣f （x ）， 即f （x ）=x+sinx （x ∈R ）是奇函数，∵f （y 2﹣2y+3）+f （x 2﹣4x+1）≤0，∴f （y 2﹣2y+3）≤﹣f （x 2﹣4x+1）=f[﹣（x 2﹣4x+1）]， 由f'（x ）=1﹣cosx ≥0， ∴函数单调递增．∴（y 2﹣2y+3）≤﹣（x 2﹣4x+1），即（y 2﹣2y+3）+（x 2﹣4x+1）≤0，∴（y ﹣1）2+（x ﹣2）2≤1， ∵y ≥1， ∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P （x ，y ）到定点A （﹣1，0）的斜率的取值范围． 设k=，（k ＞0）则y=kx+k ，即kx ﹣y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d===1，即8k 2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx ﹣y+k=0．经过点B （3，1）时，直线斜率最小， 此时3k ﹣1+k=0，即4k=1，解得k=， ∴≤k ≤， 故答案为[，]．【思路点拨】判断函数f （x ）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【题文】13.已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．【知识点】二项式定理；函数零点的判定定理．B9 J3 【答案解析】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦解析：∵的常数项为=2∴f （x ）是以2为周期的偶函数 ∵区间[﹣1，3]是两个周期 ∴区间[﹣1，3]内，函数g （x ）=f （x ）﹣kx ﹣k 有4个零点可转化为f （x ）与r （x ）=kx+k 有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k ≠0时，∵r （﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r （3）≤1解得0＜k ≤ 故答案为：【思路点拨】先求出展开式中的常数项T ，求得函数的周期是2，由于g （x ）=f （x ）﹣kx ﹣k 有4个零点，即函数f （x ）与r （x ）=kx+k 有四个交点，根据两个函数的图象特征转化AB C DP ME O 1O 2 出等价条件，得到关于k 的不等式，求解易得（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。