2020-2021学年广东省实验中学高三（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）已知A＝{y|y＝log2x，x＞1}，，则A∩B＝（）A．[，+∞）B．（0，）
C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪[，+∞）
2．（5分）“sin2α＝”是“tanα＝2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），由最小二乘法求得回归直线方程为．若已知x1+x2+x3+x4+x5＝250，则y1+y2+y3+y4+y5＝（）
A．75B．155.4C．375D．442
4．（5分）命题p：变量（x，y）满足约束条件，则z＝的最小值为，命题q：直线x＝2的倾斜角为，下列命题正确的是（）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）5．（5分）已知两个单位向量，若，则的夹角为（）A．B．C．D．
6．（5分）已知α∈（0，），β∈（﹣，0），cos（α+）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）
A．B．﹣C．D．﹣
7．（5分）已知长方形的四个顶点：A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）．一质点从点A出发，沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3、P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ
的范围是（）
A．B．C．D．
8．（5分）设n∈N*，函数，函数（x＞0）．若函数y＝f（x）与函数y ＝g（x）的图象分别位于直线y＝1的两侧，则n的取值集合为（）
A．{1，2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3}
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错得得0分，部分选对得得3分．
9．（5分）已知函数，x∈R，则（）A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点
C．f（x）的最小正周期为π
D．x＝为f（x）图象的一条对称轴
10．（5分）已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
C．若n⊥α，m∥α，则n⊥m
D．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β
11．（5分）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）
A．a17B．S35C．a17﹣a19D．S19﹣S16
12．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（）
A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．14．（5分）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
15．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且∠DAB ＝60°，SA＝AB＝1，则异面直线SD与BC所成的角的余弦值为，点C到平面SAD的距离等于．
16．（5分）点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、
F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设{a n}是公差大于零的等差数列，已知a1＝3，a3＝a22﹣27．（1）求{a n}的通项公式；
（2）设{b n}是以函数y＝4sin2πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列
{a n b n}的前n项和S n．
18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，______．（1）求角A，B，C的大小；
（2）求△ABC的周长和面积．
19．（12分）在多面体ABCC1A1B1中，四边形ABB1A1为菱形，∠B1BA＝60°，平面ABB1A1⊥平面ABC，＝，AC⊥BC，AB⊥B1C．
（1）若O是线段AB的中点，证明：平面ABC⊥平面B1OC；
（2）求二面角C1﹣AC﹣B的正弦值．
20．（12分）为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出：
（1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入Z（单位：百元）近似地服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．若Z落在区间（μ﹣2σ，μ+2σ）的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭“，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径．若该社区A家庭月收入为4100元，试判断A家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；
（2）将样本的频率视为总体的概率；
①从该社区所有家庭中随机抽取n户家庭，若这n户家庭月收入均低于8000元的概率不
小于50%，求n的最大值；
②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调在的家庭
制定了贈送购物卡的活动，贈送方式为：家庭月收入低于μ的获赠两次随机购物卡，家
庭月收入不低于μ的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概概率分别为：
赠送购物卡金额（单位：元）100200300概率
则A家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）
21．（12分）已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F（1，0）的距离小1，（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过F作弦PQ、RS，设PQ、RS的中点分别为A、B，若，求最小时，弦PQ、RS所在直线的方程；
（Ⅲ）是否存在一定点T，使得？若存在，求出P的坐标，若不存在，试说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为1，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞，讨论函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数．。