重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间：
课题：
第四节 空间曲面及其方程
教学目的及要求：
知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。

介绍空间曲线的各种表示形式。

是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。

教学重点：
1.旋转曲面、柱面
2.空间曲线的一般表示形式
3.空间曲线在坐标面上的投影
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ：
一、 曲面方程的概念
曲面S 和三元方程F(x,y,z)=0满足：
（1）曲面S 上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0； （2）不在曲面S 上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；
那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S 的方程，曲面S 称为方程F(x,y,z)=0的图形（见课本P159页图9.23）
我们通常知道平面方程式关于x,y,z 的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z 的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面。

二、 球面
建立以),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。

设M(x,y,z)是球面上的任意一点（见图9.24），则有R M M 0
旁批栏：
而2020200)()()(z z y y x x M M -+-+-=
所以 2
202020)()()(R z z y y x x =-+-+-
这就是以点),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。

当0000===z y x 时，得球心在原点，半径为R 的球面方程为
2222R z y x =++
三、柱面
动直线l 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。

直线l 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。

我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。

建立以xoy 面上的曲线C ；f(x,y)=0为准线，母线平行于z 轴的柱面方程。

设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M 的母线与xoy 面的交点N 一定在准线C 上（见图9.26）。

点N 的坐标为（x,y,0）;不论点M 的竖坐标z 取何值，它的横坐标x 和纵坐标y 都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为
f(x,y)=0
在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐
旁批栏：
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四、 旋转曲面
平面曲线C 绕同一平面上定直线l 旋转一周所形成的曲面，称为旋
转曲面。

定直线称为旋转轴。

建立yoz 面上的一条曲线C:f(y,z)=0,绕z 轴旋转一周所形成的旋
转曲面的方程（见图9.31）
设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M 做平面垂直于Z 轴，
交z 轴于点P(0,0,z),交曲线C 于点),,,0(000z y M 由于点M 可以由点0M 绕z 轴旋转得到，因此有
)1.4.9(,0
0z z PM PM ==
因为,,0022y PM y x PM =+=
所以
)
2.4.9(2
20y x y +±=
又因为0M 在曲线C 上，所以0),(00=z y f ,将（9.4.1）,(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程0),(2
2
=+±z y x f
可见，求平面曲线f(y,z)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)=0中的y 换成2
2y x +±
而z 保持不变，即得旋转曲面方程。

同理，曲线f(y,z)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为
0),,(22=+±z x y f
五、 几种常见的二次曲面 1） 椭球面 2） 单叶双曲面 3） 双叶双曲面
4） 椭圆抛物面
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双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
z q
y p x =+-2222 （p 与q 同号） 当p >0， q >0时，其形状如图所示。

3．双曲面
单叶双曲面方程为
122
2222=-+c
z b y a x 双叶双曲面方程为
122
2222-=+-c
z b y a x 各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。

作业：见作业本7.3。