1.2整式、分式与二次根式考点一、整式1．整式的有关概念（1）单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的和．（2）单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数．（3）多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．2.整式的运算（1）整式的加减○1同类项与合并同类项所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．○2去括号与添括号A.括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．B.括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．○3整式加减的实质是合并同类项．(2)幂的运算同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m、n都是整数)．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a m)n＝a mn(m、n都是整数)．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，即(ab)n＝a n b n(n为整数)．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m、n都为整数)．(3)整式的乘法○1单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．○2单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.○3多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.(4)整式的除法○1单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．○2多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．(5)乘法公式○1平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差， 即(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.○2完全平方公式:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a 2±2ab＋b 2.【例1】(1)下列运算正确的是( )A ．a·a 2＝a 2B ．(ab)3＝ab 3C ．(a 2)3＝a 6D ．a 10÷a 2＝a 5(2)下列各选项的运算结果正确的是( )A ．(2x 2)3＝8x 6B ．5a 2b －2a 2b ＝3C ．x 6÷x 2＝x 3D ．(a －b)2＝a 2－b 2(3)下列运算中正确的是( )A ．3a ＋2a ＝5a 2B ．(2a ＋b)(2a －b)＝4a 2－b 2C ．2a 2·a 3＝2a 6D ．(2a ＋b)2＝4a 2＋b 2解析：(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验．(1)C (2)A (3)B【例2】（1）如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( )A ．3和－2B ．－3和2C ．3和2D ．－3和－2(2)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x)的值．解析：(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎨⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎨⎧ m ＝3，n ＝2. C(2)题考查求代数式的值，考虑整体代入思想．原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1＝2(y ＋2x)＋1.当y ＋2x ＝1时，原式＝2×1＋1＝3.考点二、因式分解1．因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解．(2)因式分解与整式乘法是互逆运算．2．因式分解的常用方法(1)提公因式法：如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式．提公因式法用公式可表示为ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)，其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．(2)运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.3．因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止【例3】(1)下列各式中，能用公式法分解因式的是( )A．x2＋4y2B．a2＋a＋1 2C．－x2＋4y2 D．a2＋ab＋b2(2)若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是( )A．－5 B．7 C．－1 D．7或－1 (3)下列由左到右的变形，是因式分解的是( )A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．x2＋x－2＝x(x＋1)－2C．x2－2x＋1＝(x－1)2 D．x2＋5x＋4＝x(x＋5＋4x )解析：(1)、(2)题考查平方差公式和完全平方公式的特征；(3)题考查因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．【例4】(1)分解因式：a2－a＝________；(2)分解因式：x3y－xy＝________；(3)分解因式：－x3＋2x2－x＝________；(4)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)＝______解析：在分解因式时，首先考虑用提公因式法，若不能再考虑用公式法，用公式法分解时一定要先化成标准形式，再灵活选用公式．(1)原式＝a(a－1)(2)原式＝xy(x2－1)＝xy(x＋1)(x－1)(3)原式＝－x(x2－2x＋1)＝－x(x－1)2(4)原式＝(x＋y)(x＋y－3)考点三、分式1.形如AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．(1)分式有无意义：B＝0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义．(2)分式值为0：A＝0且B≠0时，分式的值为0.【例5】(1) 若分式2a＋1有意义，则a的取值范围是（）A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0解析： ∵分式有意义，∴a ＋1≠0，∴a ≠－1.(2) 若代数式2x －1－1的值为零，则x ＝________． 解析： 2x －1－1的值为零，则2x －1＝1，x －1＝2，所以x ＝3. 2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ①a·m b·m ＝a b ，a÷m b ÷m ＝a b (m≠0)； －b a ＝b －a ＝－b a. ②通分的关键是确定n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母．③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式.确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．【例6】下列计算错误的是( )A.0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB.x 3y 2x 2y 3＝x yC.a －b b －a ＝－1D.1c ＋2c ＝3c解析：利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．选项A 的计算结果为2a ＋10b 7a －10b，故本选项错误． 方法点拨：(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”，“同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．3.分式的运算（1）分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a c ±b c＝a±b c.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a b ±c d ＝ad±bc bd. （2）分式的乘除法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝ac bd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc. （3）分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即(n m )k ＝n k m k (k 是正整数)． （4）分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．4.分式的求值分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下，才能获得简易的解法．【例7】先化简代数式⎝⎛⎭⎪⎫1－3a ＋2÷a 2－2a ＋1a 2－4，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．解析：原式＝a －1a ＋2×（a ＋2）（a －2）（a －1）2＝a －2a －1， 当a ＝0时，原式＝a －2a －1＝－2－1＝2. (提醒：此题原式中的分母为a ＋2，a 2－4，当a ＝±2时，原分式无意义，所以a 不能取±2)方法点拨：分式化简求值题的一般解题思路为：(1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分式进行化简．(2)选择合适的字母取值代入化简后的式子计算得结果．注意字母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化简后的式子．【例8】对于正数x ，规定f (x )＝11＋x ，例如：f (4)＝11＋4＝15，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝11＋14＝45，则f (2012)＋f (2011)＋…＋f (2)＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12012＝__________.解析： ∵当x ＝1时，f (1)＝12；当x ＝2时，f (2)＝13；当x ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝23；当x ＝3时，f (3)＝14；当x ＝13时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，… ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，… ∴f (n )＋…＋f (1)＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝f (1)＋(n －1)， ∴f (2012)＋f (2011)＋…＋f (2)＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12012＝f (1)＋(2012－1)＝12＋2011＝2011.5. 方法点拨：此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明．考点四、二次根式1.形如式子a(a ≥0)叫做二次根式．二次根式中被开方数一定是非负数，否则就没意义，并有a ≥0.2.最简二次根式必须同时满足条件：（1）被开方数的因数是正整数，因式是整式；（2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式．3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．4.二次根式的性质：（1）a (a≥0)是非负数； （2）(a)2＝a (a≥0)；（3）a 2＝|a|＝⎩⎨⎧ a －a ＜；（4）ab ＝a ·b (a≥0，b≥0)；（5）a b ＝a b(a≥0，b ＞0)．5.二次根式的运算（1）二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．（2）二次根式的乘除法○1二次根式的乘法：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)； ○2二次根式的除法：a b ＝a b(a≥0，b ＞0)． 注：二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式6.把分母中的根号化去常用形式及方法(1)1a ＝1·a a ·a ＝a a(2)1a ＋b ＝a ＋b a ＋b【例9】使代数式x2x －1有意义的x 的取值范围是（）A ．x ≥0B ．x ≠12C ．x ≥0且x ≠12D ．一切实数 解析：由题意得x ≥0, 2x －1≠0,解得x ≥0且x ≠12，故选C 项． 此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．【例10】计算：12×(3－1)2＋12－1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1 解：原式＝4－232＋2＋1＋3－ 2 ＝2－3＋2＋1＋3－2＝3.方法点拨：利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．【例11】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1·x x 2＋2x ＋1()x ＋12－()x －12，其中x ＝12. 解：原式＝1x ()x ＋1·x ||x ＋14x ＝||x ＋14x ()x ＋1.①当x＋1＞0时，原式＝14x；②当x＋1＜0时，原式＝－14x.∵当x＝12时，x＋1＞0，∴原式＝12.方法点拨：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．【例12】已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确（）A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙解析：本题可先估算无理数15，17，19的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．∵3＝9<15<16＝4，∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴丙＜乙＜甲．故选A项．方法点拨：比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．【例13】已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长( )A. 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对解析：根据题意得x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.故选B.方法点拨：(1)常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．。