【学习目标】1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的实际背景及其简单应用.【高考模拟】一、单选题1．设、分别是双曲线C：的左右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质求出c的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可．【详解】【点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键．2．设是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，， 为坐标原点，则A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先求出双曲线的方程为，再求出点P 的坐标，最后求.【详解】【点睛】（1）本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为.3．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.4．已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【详解】【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).5．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.6．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率. 7．当时，方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】【分析】先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.【详解】化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.故答案为：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可得，所以，又，由此可求双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，又，所以，解得，从而离心率故选D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题.11．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.【详解】因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 12．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=a﹣m，由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°，即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2，由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e24﹣4e22+3=0，解得e2=故选：C．【考点】椭圆、双曲线定义，离心率【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13．焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可. 【详解】【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.14．双曲线的渐近线方程为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程． 【详解】在双曲线的标准方程 中，把等号右边的1换成0，即得双曲线的渐近线方程y=±2x， 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．15．已知点为双曲线的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a 、c 的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率. 【详解】【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a 、c 的齐次式，等号两侧同时除以a 或等，构造离心率.16．在平面直角坐标系中，设分别为双曲线的左、右焦点， 是双曲线左支上一点， 是的中点，且， ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ． 2C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据各个边长关系，判断出；根据勾股定理求出离心率。
【详解】因为M是中点，O为的中点，所以OM为三角形F1PF2的中位线因为，所以又因为，，所以在△F1PF2中，所以代入得所以，即所以选C【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题。
17．已知抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点，则双曲线的离心率为A． B．＋1 C． 2 D． 2＋【答案】B【解析】【分析】由于抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点，可得．由于两曲线的交点连线过点，可得其中一个交点因此，再利用即可得出．【详解】∵抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点，．∵两曲线的交点连线过点，∴其中一个交点，，化为，解得故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，考查了计算能力，属于基础题．18．设，是双曲线：的左，右焦点，是右支上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义可知，结合，得，利用的最小内角为，由余弦定理可得，从而可得结果.【详解】由双曲线的定义可知，结合，得，又的最小内角为，由余弦定理得，即，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．19．在双曲线中，称离心率等于的双曲线为黄金双曲线，则下列双曲线中，是黄金双曲线的为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出每一个选项双曲线的离心率，再判断.【详解】【点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.（2）计算本题时，可以直接计算离心率e,也可以计算,看是否等于20．设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点,若,则( )A． 1或5 B． 6 C． 7 D． 9【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程，渐近线的方程求出，由双曲线的定义求出【详解】由双曲线的方程，渐近线的方程可得：，解得由双曲线的定义可得：解得故选【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，结合双曲线的定义进行计算求出结果，较为简单，属于基础题二、填空题21．双曲线的渐近线方程________．【答案】【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想22．双曲线的左右焦点分别为、，为右支上一点，且，则双曲线渐近线的夹角为_______【答案】，或【解析】【分析】利用双曲线的定义，求出，通过焦点三角形面积公式求出b，然后求出双曲线的渐近线方程，即可得到双曲线渐近线的夹角．【详解】【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，注意焦点三角形面积公式的应用．23．设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是_______【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的a,b,c,再利用求出，即得三角形的面积. 【详解】由题得.由题得所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查双曲线的几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.24．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为______【答案】4【解析】【分析】由题得，解之即得a的值.【详解】【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中，双曲线中25．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】设点的横坐标为∵，在双曲线右支上（）根据双曲线的第二定义，可得故答案为.26．设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，根据双曲线的定义可得，结合圆的性质，从而推出内切圆圆心为，根据内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，可得出不等式，结合，即可求得离心率的取值范围. 【详解】根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，如图所示：【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．27．已知双曲线的左、右焦点分别为点，，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点P，若，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】【分析】画出图形，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点坐标相同，结合抛物线定义，求出P的坐标，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：抛物线与双曲线的右焦点相同，，由抛物线定义可知，，P在双曲线上，所以：，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．28．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率是______。