函数与导数第1讲函数及其表示【2013年高考会这样考】1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.2.考杳分段函数的简单应用.3.由于函数基础性强，渗透面广，所以也会与其他章节题口结合来考查.【复习指导】对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误.重点解决：（1）求函数的定义域；（2）求函数解析式的基本方法；（3）分段函数及其应用.必考必记i教学相长基础梳理1.函数的概念（1）函数的定义一般地，设4, B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合4中的任意一个数x,在集合B中都有二确定的数/（兀）与之对应；那么就称: /：A~^B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=/U）,炸人.（2）函数的定义域、值域在函数）=心），«P，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛.fM\x^A｝叫做函数的值域.显然，值域是集合B的了集.（3）函数的三要索：定义域、值域和对应法则.⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致,则这两个函数相等, 这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3.映射的概念设A, B是两个非空集合，如杲按照某种对应法则/,对A中的任意一个元素兀, 在B屮有一个且仅有一个元素y与x对应，则称/是集合A到集合B的映射.4.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. ^=助禽 < 博--------两个区别(1).函数是扭殊的映射亠.其犢殊性在壬―集佥A与集介上忠能是韭空数集“即函数是韭空数集4到韭空数集$的映射-(2)一映射丕二定是一函数亠从4到Q的二仝映射'…若4…E丕是数集〉…则这仝映射•便丕是函数一:…两个防范(1)判断对应星否为-映-懸…即看…4…出兀素是査满足上每尤有象二和上且象惟二二:…但要注意二①4虫丕」司元素可有相一同的象—即允许多对二儿但丕允许二对一多;…②乞史元素可无原象，…即上…虫元素可有•剩余-(2)求分段函数应注•意的问题在求分段函数的值血°)时一二定要苴先判断也属王定义域的哪仝壬集.然后再代入相应的关系式;-分.段函数的值.域应是其定义域内丕同壬集上各关系式的取值.范围的并集:…双基自测1.(人教A版教材习题改编)函数/(兀)=些^的定义域为().A. (—°°, 4)B. [4, +°°)C. ( — I 41D. (-oo, 1)U(1,414—兀20,解析要使函数/W有意义，贝IJ 一门X— 1工()，即兀W4且兀工1・答案D2. 下列各图形屮，是函数图彖的是（）.解析 由函数的概念知：D 正确. 答案D3. （2011 •广东）函数/W=±+lg （l+x ）的定义域是（）.1 X A. （—8, -1）B. （1, +8）C. （一 1,1）U （1, 4-00）D. （-OO, +oo ）[1 +x>0, 解析由题意知：k 〜 11 —详 0,即x> — l 且兀H1. 答案Cf =（ ）•A. 4B.才C ・一4D.—才解析•••閒=10品=-2, 「2） = 2 2=4- 答案B45. （2011-浙江）设函数若加）=2,则实数 _______________________ •1 X匚 4解析由已知得：；—=2,贝ijd= —1.1 —a 答案TKA0XIAN0TANJIUDA0XI ................................................................................................................................................................................................................■ » 考向探穽导析 研析才向i案例突破考向一求函数的定义域Iog3 兀，X>0, 2\ xWO,4. （2012-西安模拟）已知函数乐）=A.(—0) B (—+s c(-*, 0ju (0, +8)D (_*, 2［审题视点］根据解析式的结构特征，由分式的分母不能为零、对数的真数大于 零列出自变量满足的不等式组，解之即可. 解析 要使函数式有意义，兀必须满足：［2兀+1>0, ［兀>_ 丄1 一 即 2，［吨(2x+l)H0, Uo.所以沧)的定义域为(―£ 0)U(0, +8). 答案c方法总结型求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则， 列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母 不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于耍求xHO;④对数式中， 真数大于0,底数大于0且不等于1;⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受 实际问题的约朿. 【训练1】函数歹=埋耳的定义域是 ___________ .所以函数的定义域为｛xLr<4且｝ •答案｛加<4且xH3｝考向二求函数的解析式【例2】》(1)己知.£+£)=»+$,求沧)； ⑵已知£+l) = lgx,求/(兀).［审题视点］(1)若把x++看做一个整体，只要把右边配凑成用兀+*表示的代数式, 再利用代换即可求出/a ）；（2）采用换元法. 解（1）沽+弓【例1] »(2oii •江西)若yu )= log|(2%+l),则乐)的定义域为()•(4—兀 >0， 解析4-3^0 x<4,xH3.・•・/（兀）=F —3兀（兀上2或兀W—2）・29 2（2）令；+1=心＞1）,贝ij ・\/W・g）=ig^j（Qi）・方沬总结"函数解析式的求法（1）凑配法：由已知条件./（巩兀））=尸（兀），可将FS）改写成关于gd）的表达式，然后以兀替代g⑴，便得/⑴的表达式，此时要注意g（兀）的范围；（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数可用待定系数法）；⑶换元法：已知复合函数心（力）的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.【训练2】⑴已知心）是二次函数，若爪0）=0,且/（x+l）=/U）+%+l,试求心）的解析式.（2）已知3/（兀）+5/亡）=|+1,求函数/（兀）的解析式.解（1）设 /（兀）=d/+加+c（dHO）,•・7（0）=0, ・・・c=0,S+l）=/U）+x+l，/.t7（x+ l）2 + b（x+ l） = c/ + /?x+兀 + 1.UP 2ax+a + b=x+l,(2)以£替换原等式中的x,则3/g] + 5・/U) = 2x+l.r /n 23沧)+ 5右匕+1, 故sM£|+5/W = 2X +I,如)+1 湘 W+3,考向三分段函数求值、/(兀+1), x<4, 则 /(2 + log23)的值为().1 1 1 1 A-24B12C6D-3［审题视点］根据f(x)=f(x+l)(x<4),将自变量兀化到［4, +8)上，再求解. 解析 2+ log23<4, /./(2 + log23)=/(3 + log23).而 3 + log 23>4, ：.f(2 + log 23) =f(3 + log 23)=申3 + log 23 =|xMlog 23 =|x|=24-答案A竝边 ⑴在求分段函数的值/(必)时，一定要首先判断xo 属于定义域的哪个子 集，然后再代入相应的关系式.(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段 函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决.2'+1, %<1,【训练3】已知函数f(x)=\ 9X"十ax,兀刁1, 若f(f(0))=4a ，则实数a 等于().两式相减整理，5 3 1得/(兀)=孙一氣+工0).【例3】>(2011•长沙模拟)已知函数危)=+25/(x)=10x+5.兀24,4 B 5D. 9解析•.求0) = 2° + 1 = 2, . •.血0)) =/(2) = 2? + 2°. 又.AA0)) = 4Q , .*.22 +2fz=4«, .'.a = 2.答案C阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区 间，必须先求出函数的定义域.如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判 断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调 区间.由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误.【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定 义域优先”的原则.【示例】►求函数y=log|(x 2-3x)的单调区间.错因 忽视函数的定义域，把函数)=1。

母的定义域误认为R 导致出错.实录 设/=/—3兀.3 •・•函数r 的对称轴为直线故/在(一°°, |)上单调递减，在(|, +°°)上单调递增.・・・函数y=\o^(x 2-3x)的单调递增区间 正解 设r=?-3%, rtl r>0,得兀<0或x>3,即函数的定义域为(一^, 0)U(3,+ °°)・3 函数r 的对称轴为直线 故f 在(一r 0)上单调递减，在(3, +->)上单调递增. 而函数y=\o^t 为单调递减函数，由复合函数的单调性叮知，函数y=log|(/- 3x)的单调递增区间是(一8, 0),单调递减区间是(3, +->).【试一试】求函数/(x) = log 2(x 2—2x —3)的单调区间. ［尝试解答］由兀彳一2兀C. 2是(-8,I)单调递减区间是KAOTIZHUANXIANQTUPO ...................... .》考题专项突菠一3>0,得x< —1或兀>3, 即函数的定义域为(一一1)U(3, +°°).令t=x2—2x~3,则其对称轴为兀=1,故f在(一°°, —1)上是减函数，在⑶ + °°)上是增函数.又y=log2r为单调增函数.故函数y=log2(x2—2x—3)的单调增区间为(3, +°°),单调减区间为(一—1).。