2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
2. 合振动 : x x1 x2
x 2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1
4.当
2
1
3
2
,
2
时：
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。
y
A2
x
A1
y
A2
x
A1
= 0 = /4 = /2 = 3/4
=
= 5/4 = 3/2 = 7/4
0 时，逆时针方向转动。 0 时，顺时针方向转动。
相互垂直、频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律:
(1)一般情况下轨迹为椭圆;
y
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2 (2
1 )
讨论： 1.当
2 1 0 时： y
A2 A1
x
A2
x
A1
y
2.当
2
1
时：
y
A2 A1
x
A2
x
A1
3.当
2
1
2
时：
x2 y2 1
A1 A2
x A1 cos(t 1)
y
A2
cos(t
1
2
)
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
A cos
A s in
x Acos cost Asin sin t Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
结论：合振动 x 仍是简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
旋转矢量法处理谐振动的合成
x1(t) A1 cos(t 1) x2 (t) A2 cos(t 2 )
合振动 ：
2
A2
M2
A
x 2 1
A1
M1
x1
M xx
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
合振动是简谐振动,其频率仍为
讨论： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
若两分振动同相：
v
2 1 2
v2
v1
结论： 合振动可看作振幅缓变的简谐振动
3. 拍的现象：
x1
t
x2
t
x
t
拍: 合振动忽强忽弱的现象
拍频:
单位时间内强弱变化的次数
拍 2 1
T 2 2 1
=|2-1|
三、同频率互相垂直的简谐振动的合成
分振动
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
消去参数 t 得轨迹方程
简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动的合成
分振动 : x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 : x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐 振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周 期性的，这些图形称为李萨如（J. A. Lissajous 1822-1880 法国）图形。
Nx y Ny x
y
x y
21 0 x
3 1
3 2
x = 0：y = 0
y
π 8
y
π 4
y
3π 8
y
π 2