(34)简谐运动的合成
机械振动
四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
A2 y
1 )
讨论 1）2 1 0 或 2π
y A2 x A1
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
（34）简谐运动的合成
机械振动
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
机械振动
4. 有两个同方向、同频率的简谐运动，其合振幅为A=0.20m，
合振动的相位与第一个振动的相位差为π /6，若第一个振动的振幅
为A1=0.173m 。求第二个振动的振幅和两振动的相位差。
解：采用旋转矢量合成图求解。取第一个振动的旋转矢量A1沿x 轴，令其初位相为0；由题意，合振动的旋转矢量A与A1之间的 夹角π /6 。根据矢量合成法则，可得第二个振动的旋转矢量的
(2)若有另一同方向、同频率的简
谐运x3=0.07cos(10t+3)m，则3为多 少时，x1+x3的振幅最大？又3为多少
时，x2+x3的振幅最小？
A
A1 1
A2
2
o
x
解:(1)同方向，同频率的简谐运动合振动振幅为
A A12 A22 2 A1A2 cos( / 2) 7.8102 m
分振动 x1 Acos(1t ) 初相相同 x2 Acos(2t )
合振动 x x1 x2
x 2Acos( 2 1 )t cos( 2 1 t )
2
2
合振动不是简谐振动
当21时,2 1 2 1 则：x A(t)cos t
合振动初相位
tg A1 sin 1 A2 sin 2 11 则： 1.48rad或1.48rad
A1 cos1 A2 cos2
1.48rad
（34）简谐运动的合成
机械振动
(2)要使x1+x3振幅最大，需两振动同相，即 2k
AA31 1
式中
A(t) 2Acos( 2 1 ) t
2 cos t cos( 2 1 )t
2
随t 缓变 随t 快变
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的
合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
（34）简谐运动的合成
机械振动
“拍”可看作振幅缓变的简谐振动
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|
（34）简谐运动的合成
机械振动
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x
x
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
1 2 0
(2 1)t (2 1) 2π ( 2 1)t
（34）简谐运动的合成
机械振动
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
(2 1)t
振幅 A A1 2(1 cos)
2 A1 cos(2
1
2
t)
拍频 2 1
(2 1)t
A 2
A2
o x2
1 A1
x1
x
x
1t 2t 2 1
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
（34）简谐运动的合成
x1 A0 cost
x2 A0 cos(t ) x 3 A0 cos(t 2 )
机械振动
A o
A1
A2
A3
A4
A5
x
A Ai NA0
xN A0 cos[t (N 1) ]
1） 2kπ
讨 论
(k 0,1,2,)
2）N 2k 'π
(k' kN, k' 1,2,)
N个矢量依次相接构
i A4
A3
A5
A6
O
A1
A2
x
成一个闭合的多边形 .
A0
（34）简谐运动的合成
机械振动
三 两个同方向不同频率简谐运动的合成
cos(t
π 2
)
A2 y
o A1 x
（34）简谐运动的合成
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
机械振动
（34）简谐运动的合成
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
位
差
机械振动
（34）简谐运动的合成
机械振动
五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
（拍在声学和无线电技术中的应用）
Hale Waihona Puke 振动圆频率 cost x1 x2
A
1 2
2
（34）简谐运动的合成
机械振动
习题、 怎样利用拍音来测定一音叉的频率?
找一个已知频率1的音叉,同时敲击两音叉产
生拍,测出拍的频率, 根据 2 1
求出被测音叉的频率2.
（34）简谐运动的合成
ox
A1
（34）简谐运动的合成
机械振动
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
y A2 cos(2t 2 )
1 0
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
,π 2
李萨如图
1 m 2 n
测量振动频率 和相位的方法
（34）简谐运动的合成
机械振动
3. 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为 x1=0.05cos(10t+0.75π)m; x2=0.06cos(10t+0.25π)m。 求：(1)合振动的振 幅和初相；
大小（即振幅）为
A2
A12
A2 2 A1 A
cos
A2
0.10m
A2
0.10m
A 0.20m
A
由于A1、A2、A的量值恰好满 足勾股定理，故A2与A1垂直， 即第二个振动与第一个振动的
相位差为
0
A1
A1 0.173m
2
（34）简谐运动的合成
机械振动
二 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x Acos(t ) o
A A3
3
x
o
o
A
A2
Tt
（34）简谐运动的合成
机械振动
1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1，)
A A1 A2 相互削弱
3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
o
x
则：3 1 2k 2k 0.75 , k 0,1,2
要使x2+x3振幅最小，需两振动反相，即 (2k 1)
A2
2
o
x
A3
则：3 2 (2k 1) 2k 1.25 , k 0,1,2
（34）简谐运动的合成
A A1 A2
xx
o
o
A1
A2
A
Tt
（34）简谐运动的合成
机械振动
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
A A1 A2 如 A1=A2 , 则 A=0
x
x
A1
2
（34）简谐运动的合成
机械振动
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
