结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第7章
第7章 力法 7.1超静定结构的概念和超静定次数的确定 一、超静定结构的概念
1、超静定结构的定义 具有几何不变性、而又有多余约束的结构。其反力和内
力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。 2、超静定结构的特点 （1）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能
MP图
1P
1 EI
(1 2
pa a) ( 2l 3
b) 3
pa 2 6EI
(2l
b)
x1
1p
11
pa3(1 3b ) 2a
l
3 (1
3EI kl 3
)
x1=1
第7章
p
A
B
a
b
l
原结构
X1=1
A
B
1
Ml图
p x1
A
B
基本结构(2) p
A
B
Pab/l
MP图
解：力法方程 11 x1 1 p 1C 0
二、超静定次数的确定（去约束法）
一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。
P
P
1次超静定
P
Q
A 2次超静定
X1
X1
切断一根链杆等于去掉一个约束
P X2
X1
X
X
2
1
Q
去掉一个单铰等于去掉两个约束
P
3次超静定
P
P
X
X
3
2
X
3
X1
X
X
2
1
切断一根梁式杆等于去掉三个约束
PX1 X1
1次超静定
在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
x1=36.67kN（←） x2=-5.93kN（↓）
第7章
超静定刚架的内力图
X1=36.67kN X2=–5.93kN
第7章
7.4 用力法计算超静定桁架和组合结构
一、超静定桁架如图所示，各杆EA相同，求各杆内力。
解： 力法方程：
11 x1 1 p 0
第7章
式中：
2
11
N 1 l 1 [(4)2 4 2 ( 5)2 5 2 (1)2 3] 405
X X
1 2
2.67kN
1.11kN
M M1X1 M2X2 MP
2.67
2
4.33
1.33
5.66 3.56
M kN m
注：超静定结构受荷载作用，它的反力和内力与杆件刚度相对值有关， 与其绝对值无关。
第7章
例7-2 试分析图示超静定梁。设EI为常数。
力法方程:
δ11 x1 δ12 x2 δ13 x3 Δ1P 0 δ21 x1 δ22 x2 δ23 x3 Δ2P 0 δ31 x1 δ32 x2 δ33 x3 Δ3P 0
∙x δ33
3
P
3P
δ31
x3=1
δ31
力法典型方程：
2P 1P
δ11 x1 δ12 x2 δ1n xn Δ1P 0 δ21 x1 δ22 x2 δ2n xn Δ2P 0 δ31 x1 δ32 x2 δ3n xn Δ3P 0
推广：n次超静定结构
11 X 1
12 X 2
1） iP , ij 的物理意义；
ij
2）由位移互等定理 ij ji ； 位移的地点
产生位移的原因
3） ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
4）柔度系数的性质
主系数 ii 0
0
副系数 ij 0
0
5）适用于任何外因的作用。如温度改变或支座位移作用时，该自由项 iP
第7章
p
A
B
a
b
l
原结构
l
Ml图BΒιβλιοθήκη X1=1pB A
x1
基本结构(3)
pa
p
B
MP图
解：力法方程 δ11 x1 Δ1p 0
第7章
A 8m
A
B
C
k
8m
8m
原结构
B
C
k
x2
p
D k
2m
p
D
x1
解：力法方程:
基本结构(1)
11
x1
12 x2
1P
x1 k
21 x1 22 x2 1P 0
第7章
原结构 基本结构
原结构体系 基本结构体系
第7章
二、力法原理
1、解题思路
q
2
1
l
原结构
q
x1 基本结构
位移条件： 1P+ 11=0 因为 11= 11X1 （ 右下图） 所以 11X1 +1P =0 X1= -1P/ 11
q 1P
1X x1
11 x1=1
第7章
2、解题步骤
（1）选取力法基本结构； （2）列力法基本方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求力法方程各系数，解力法方程； （5）绘内力图。
............... 1n X n
nP
0
21 X 1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
....................................................................
n1 X 1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
一、超静定梁的计算
用力法计算图示结构， 作M 图。DE 杆抗弯刚度为EI，AB杆抗弯刚度 为2EI，BC杆 EA=∞ 。
P
P
2l
A
B
D
C
E
l
l
l
x1
基本体系
l/2 M1图
Pl
P
0.444Pl
δ11 x1 Δ1P 0
Δ1P
1 2EI
1 2
l
pl
2 2l 3
1 3
l
5Pl3 12EI
MP图
则去掉多余约束的个数即为该结构的超静定次数。
2次超静定
1次超静定
3次超静定
7次超静定
s
2次超静定
第7章
2、去掉多余联系的方法
（1）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。 （2）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。 （3）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。 （4）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于 去掉一个联系。
11
1 EI
( l l )( 2l ) 23
l3 3EI
1 1 ql 2 3
ql 2
1P
EI
( 3
l
2
)( l)
4
8EI
x1
1p
11
3 ql 8
第7章
试选取另一基本结构求解：
q
A
EI
l
原结构
x1
q
B
基本结构
第7章
q
2
EI
l
原结构
x1 1
q 基本结构
x1=1 1 Ml图
ql2/8 MP图 解：力法方程
3、确定超静定次数时应注意的问题
（1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。 （2）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变 体系；几何可变、瞬变均不可以。
三、超静定结构的分析方法
力法 超静定结构 解法 位移法
力矩分配法
矩阵位移法
第7章
7.2 力法原理和力法方程 一、力法涉及到的结构与体系
M1
3
X2 1
M2
9
MP
3、系数与自由项
11
M1M1 dx 207
EI
EI
22
M 2M 2 dx 144
EI
EI
12 21
M1M 2 dx 135
EI
EI
1P
M1M P dx 702
EI
EI
2P
M 2M P dx 520
EI
EI
4、 解方程得 5、求内力
4
2I
I
2I
X2
2
1 3m 3m
X1 X2 基本结构①
X1
基本结构②
X1
X2
1、基本结构与基本未知量X：1 , X 2
（注：基本结构的多样性，此处我们选用基本结构①）
2、典型方程
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
基本结构③
6
6
6
6 18
27
X1 1
1 EI
(
l 2
l
1)
l2 2EI
33 13 31 23 32 0
1P
1（1 EI 2
l 2
pl )( 2l 23
1 3
l) 2
5 pl 3 48EI
1 1 l pl
pl 2
2P
( EI 2 2
2
)1
8EI
3P 0
将以上各式代入力法方程组求得:
x1
1 2
p
内力图如下：
x
2
24 EI
x1
81 2EI
x2
640 EI
0
δ22
1 2EI
1 2
3
3
2 3
3
1 EI
3 4
3
81 2EI
δ12
δ21
1 EI