高考数学知识点复习测试题(附参考答案)一元二次不等式及其解法★ 知 识 梳理 ★一.解不等式的有关理论（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3） 解不等式时应进行同解变形； （4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。

0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅解一元二次不等式的基本步骤：整理系数，使最高次项的系数为正数； 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=∆ （4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数） 分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。

2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11log 2<-x ax点拨:11log 2<-x axΘ ∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22102210，讨论：（1）当a =2时，得x <0 （2）当a >2时，--<<220a x/ （3）当02<<a 时，a x ->22或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0当a >2时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--022|x a x . 当02<<a 时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->022|x a x x 或12/(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系.问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式； 点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根由韦达定理知：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=-+-=-846)1(2623b a a a b a 故2()41680f x x x =-+-★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式[例1] 不等式2x x >的解集是( )A ．(),0-∞B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞+∞U【解题思路】严格按解题步骤进行，[解析]由2x x >得(1)0x x ->,所以解集为()(),01,-∞+∞U ,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当2x =±时满足不等式,故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.[例2]已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数[解析] 由220ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11,32-为方程220ax x c ++=的两个根,由韦达定理得 11211,3232ca a-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,∴220cx x a -+->即222120x x --<,其解集为(2,3)-. 【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数【新题导练】1.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2) 解析：∵可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x |＜x ＜2}，则m 的取值范围是A. m ＞0B.0＜m ＜2C. m ＞D. m ＜0解析：由不等式的解集形式知m ＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式例1：解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++> 【解题思路】比较根的大小确定解集解析：∵2(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a -->⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()230x ->，解集为{}3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}3x x x a <>或【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0∆>∆=∆<).③根据根的大小讨论(121212,,x x x x x x >=<). 题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式log a (1－x1)＞1 (0,1)a a >≠ 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a x x11011由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11.综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a -11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.【新题导练】3.关于x 的不等式226320x mx m --<的解集为( )A.(,)97m m -B.(,)79m m -C.(,)(,)97m m-∞-+∞U D.以上答案都不对 解析:原不等式可化为()()097m mx x +-<,需对m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有关.4.解关于x 的不等式：04)1(22<++-x a ax 解析：0)2)(2(<--x ax a )1(222-=- 当⇒>a 21当0<a ⇒(5.考点3 [例5] [解析] 所以不等式的解集为(,1][1,2][4,)-∞-+∞U U .【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】5.若关于x 的不等式0(3)(1)x ax x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞U ,则a 的值为_______解析:原不等式()(3)(1)0x a x x ⇔+++>,结合题意画出图可知2a =-.6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式解：①若)251()2511(2150∞++--+<<，，，则原不等式的解集为Y a a ； ②若)251(215∞+++=，，则原不等式的解集为a ；③若)251()1251(215∞++--+>，，，则原不等式的解集为Y a a7.（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)21(242>⋅-+x x x．解析：2)21(2242>⋅-+x x Θ21422222>⋅∴-+x x 即212322>-x 得65>x 所以原不等式的解集为}65|{>x x 考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围① ②例1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解[解析]当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a > 综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞【名师指引】不等式20ax bx c ++>对一切x R ∈恒成立000a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪>⎩或2040a b ac >⎧⎨∆=-<⎩不等式20ax bx c ++<对任意x R ∈恒成立000a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪<⎩或2040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩ 题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.[解析] (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235()31()2g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.【名师指引】()m f x ≤对一切x ∈x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥; 【新题导练】8.不等式22214x a x ax ->++对一切_______．[解析]：不等式2214a x ax ->++01>-a 对一切∈x R 恒成立若2+a =0,显然不成立 2>a9.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（ ） A ．0 B ． –2 C ．-52 D ．-3解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1 若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a 2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－52≤a,故选C ． ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1. 不等式2560x x -++>的解集是__________解析:将不等式转化成2560x x --<，即()()160x x +-<.]2. 若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________. .解析:先由方程20x ax b --=的两根为2和3求得,a b 后再解不等式210bx ax -->.得11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解析： 2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞4(08梅州)设命题P ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+121对一切正实数均成立。