排列组合之相同元素分配问题
华图教育 姜洋
排列组合问题是公务员考试中常见的一类计数问题，也是广大考生最为头疼的问题，排列组合的题型很多，其中有一类题目是涉及到相同元素分配的题目，本篇文章就针对排列组合中这样一类问题进行详细阐述。

【例】把9个苹果分给5个人，每人至少分一个苹果，那么不同的分法一共有多少种？
A.30
B.40
C.60
D.70
【解析】遇到这样的相同元素进行分配的问题，我们一般都是采用挡板法进行计算。

也就是9个苹果排成一排，形成8个空，中间插4个挡板，就可以把9个苹果分成5份，并且
每份至少为1个。

在8个空插上4个挡板：7048=C (种)分法。

此题是9个相同元素被分成5份，每份至少为1，我们是在9个元素形成的中间8个空隙中插入4个挡板，分成5份。

如果是10个相同元素被分成4份，每份至少为1，那么我们就可以在10个相同元素形成的9个空隙中，插入3个挡板，将10个元素分成4份。

推而广之，如果题目中给出的是遮掩一个模型“M 个相同元素，分成N 份，每份至少为1，问有多少种不同的分法”，就是在M 个元素形成的M-1个空隙中插入N-1个挡板。

所以公式即为：1
1--N M C 。

了解了这个公式之后，我们来做两道例题试一下。

【例题1】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同分法一共有几种？（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】D 。

【解析】这是一道相同元素的分配问题，并且符合我们之前所讲过的模型，我们可以直
接代入公式6241315==--C C 种分法。

答案选择D 。

我们在做题的过程中，经常会遇到这个类型题的变形题目，比如说一下这几道例题。

【例题2】将12个相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分得3个苹果，请问一共有多少种分配方式？（ ）
A.8
B.10
C.12 D,14
【答案】B 。

【解析】这道题同样是一道相同元素的分配问题，但是和我们之前讲过的模型并非完全一致，在模型中，每份至少为1，而本题中，每个小朋友至少分得的是3个苹果，所以我们先拿出6个苹果，给每个小朋友先分得2个苹果，这时就变成“6个苹果，分给3个小朋友，
每个小朋友至少分得1个苹果”，此时我们就可以直接代入公式10251316==--C C 种分法，
答案选择B 。

【例题3】将6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种不同的分法？（ ）
A.16
B.20
C.24
D.28
【答案】D 。

【解析】这道题目同样是相同元素分配问题，但是题目中并没有要求每个小朋友至少分得1个苹果，与我们总结出来的模型不相符，处理本道题目的时候，我们先从三个小朋友出分别“借”一个苹果，这时就变成“9个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分得1个苹
果，有多少种不同的分法？”，我们就可以直接代入公式计算28281319=---C C ，答案选择D 。

【例题4】将9个相同的苹果放入3个不同的箱子里。

要求：第一个箱子不少于1个，第二个箱子不少于2个，第三个箱子不少于3个。

请问一共有多少种不同的分配方法？（ ）
A.8
B.10
C.12
D.14
【答案】D 。

【解析】先拿出3个苹果，在第二个箱子中放入1个，在第三个箱子中放入两个，此时就变成“6个相同的苹果，放入3个箱子，每个箱子至少放入1个苹果，一共有多少种分配
方法”，这个时候我们就可以直接代入公式10251316==--C C ,答案选择D 。

【例题5】某单位订阅了30份学习材料，发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法？（ ）
A.12
B.10
C.9
D.7
【答案】B 。

【解析】先拿出24份学习材料，每个部门分8份，这时就变成“6份学习材料分给3
个部门，每个部门至少分得1份，有多少种不同的分配方法”，代入公式10251316==--C C ，
答案选择B 。

有以上例题2~5这四道题目我们不难发现，在解决相同元素分配问题的时候，我们都是在构造之前总结出来的模型，当分配元素个数至少为P 个，P ＞1时，我们都是先给每个人分P-1个元素，从而构造出每人至少分得1个元素的情形；当没有要求每人至少分到1个元素的时候，我们先向其“借”1个元素，从而构造出每人至少分得1个元素。

通过上述构造出模型“M 个相同元素，分给N 个人，每人至少分得1个元素，一共有多少种不同的分配方式？”，此时我们就可以运用公式11--N M C 来解决相同元素分配问题。