生相应的附加约束反力。
P C
A
Step1：附加刚臂 限制结点位移，荷
B 载作用下附加刚臂
上产生附加力矩。
A θA
θA
3
C
Step2：对结点施加产生 相应的角位移，以实现结
B 点位移状态的一致性，产
生相应的附加约束反力。
Step 3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
为无侧移刚架。 P=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩(确定载常数)
A
EI B B EI
C
3m 3m
6m
MAB
EI
P B MBC
q
MBA
B EI
4、位移法基本方程（平衡条件）
M
F BA
Pl 8
20 6 8
15kN
m
M
F AB
15kN
m
M
F BC
ql 2 8
9kN m
3、列单元刚度方程(包含形
1
第八章
位移法
A θA
θA
B
附加
刚臂 A
§8-1 位移法的基本概念
2
P C
荷载效应包括：
内力效应：M、Q、N； 位移效应：θA
实现位移状态可分两步完成
P
C
A θA
C
θA
Step1：附加刚臂 限制结点位移，荷
B 载作用下附加刚臂
上产生附加力矩。
Step2：对结点施加产生 相应的角位移，以实现结
B 点位移状态的一致性。产
PJ h1 1
J
PJ 2h2
J
PJ 3 h3
J
1
A 24
A
5
24QAB
B
EI
l1
8
i1=
q
i
1
复绘习制角弯变矩位图移方程中的杆端剪力：21
8B
MB （ql2） QBA
Q
M
AB
AB
6i l
6i
l A
6iM
l
ABFB1l22i254
qlQ2 AFB
QBMA B…A…6li…6…lAi …6l…i M…B BF…A 1…l22i…21…4Qq..lBF2A
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
M AB
3i A
3i l
QAB
Q因BA
B
6i
l
0,AQA6lBi
BQB1Al22i0(2)
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
MAB i A
MBA i A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
Ni
EAi li
sin i
Ni
EAi li
sin i
EAi li
sin 2 i
P
EAi li
sin 2
i
P
P
EAi li
sin 2 i
5
位移法基本作法小结:
（1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整
体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;
MBC
M B 0 MBA
M BA M BC 0.......... ......(1a) 10iB 15i 4 0.............(1)
M BC 6i B
M DC 0.75i MBC
MBA
B B
QBA
B
23
C
QCD
x0
QBA + QCD =0…………...(2a)
6iB 3.75i 24 0........(2)
由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应 等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。
4
i
1 2 34 5
B
B
P
B
A i
Ai ,li B
B
ui
Ni
ui sini
i B
B
选择 基本 未知 量
物N理i 条E件lAi i ui
ui sini
几何条件
Ni sini P
平衡条件
变形条件
QAB MAB
QBA
QBA 1.5iB 0.75i 6
QDC MDC
QCD
QCD
3i 42
（4）解位移法方程
10iB 1.5i 4 0...........(1) 6iB 3.75i 24 0........(2)
24
B
0.737 i
7.58 i
（5）弯矩图
MAB= -13.896 kN·m MBA= -4.422kN·m MBC= 4.422kN·m MDC= -5.685kN·m QBA= -1.42kN QCD= -1.42kN
§8-5 有侧移复刚习架角的变计位算移方程中的杆端剪力：19
M
AB
3i l
QmAABB
33llii1qA6l3i 3l q2i8l2Q51qAF6Bl2
C
QMBCAD
3i l
3ql2
QBA16
3i l
A
3i l2
QBFA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 QBA QDC 0
QBA
3i l2
MBA 3iAB B mBA 3B 40 MCD 3C
16
梁
M BC 4 B 2C 41.7
MCB 4C 2B 41.7
M BE
4
3 4
B
3B
柱
M EB
2
3 4
B
1.5B
M CF
4
1 2
C
2C
M FC
2
1 2
C
C
2m 4m
(3) 位移法方程
MB 0 MC 0
M BA M BC M BE 0 MCB MCD MCF 0
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
10
QAB= QBA
6i l 12 i
l2 3i l
3i l2
0
二、由荷载求固端反力称为载参数
11
单跨超静定梁简图
q
A P
a
b
q
A
A
P
a
b
q
A
P
A
a
b
B
B B
B B
M
F AB
ql 2 12
Pab2 l2
ql 2
8
Pb(l 2 2l 2
m
M BC
3i
6 7i
9
11.57kN m
3.21
M图 kN m
15.85
例1、试用位移法分析图示刚架。
15
（1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）固端弯矩(载常数)MF
A 4I0 B 5I0 C 4I0
3I0
D
3I0
E
F
4m
5m
4m
2m 4m
M
F BA
ql 2 8
20 42 8
C 9.8 D
M图 (kN m)
1.7
E
4.89 F
18
无侧移刚架位移法分析小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。
P
q
Mq
A
B
C
D
M
MCB
MCD
C
BA
5ql 2
16QABA
EID
l
3ql 2 16
（1）由杆端弯矩
M
AB和M
引起的
BA
A和
B
B
MBA
MBA
利用单位荷载法可求得
A
1 EI
1 2
M AB
l
2 3
1 2
M BA
l 1 3
l EI
1 3
M AB
1 6
M BA
设 EI i
l
A
1 3i
M AB
1 6i
M BA
1
同理可得
B
1 6i
M
AB
1 3i
M BA
MAB
A
MAB
A
EI
A
1 3i
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
8
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
结构中可能存在不同支座情况。
2
3
13.896
B 4.422
C
4.422
A
5.685 D
M图（kN·m）