叫做级
数 un 的和.并写成s u1 u2 u3
n1
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
n1
n1
意的常数 c 和 d,有级数 (cun dvn )收敛,且其和为
n1
cs d .
证 lnim(csn d n ) cs d , 性质1成立。
特别: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
必发 散
思考: 收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?
性质 2 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
(m 0)
1 1 1
m1 m2
mm
1 1 1 1.
2m 2m
2m 2
故调和级数发散.
例4 判断
2n 的敛散性。
n1 5n 1
解 由于 lim 2n 2 0, 因而级数是发散的. n 5n 1 5
例5
判断级数 sin nx的敛散性。 n1 2n
解 | um1 um2 um p |
证明 设 (u1 un1 ) (un11 un2 ) (un21 un3 )
|
sin( m 2m1
1)
x
sin(
m 2m2
2)
x
sin(
m 2m p
p)
x
|
|
1 2m1
1 2m2
1 2m
p
|
|
1 2m1
1 2m2
1 2m p
|
1 2m1
(1
1 2
1 22
1 2 p1
)
1 2m1
1
1 2p
1 1
2
1 2m1
2(1
1 2p
)
1 2m
0,(m )
故原级数收敛.
例6 证明级数 1 收敛。 n1 n2
第十二章 数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 是什么结果？
一尺之棰，日取其半，万世不竭。
将每天取下的长度“加”起来：
1 2
1 22
1 23
1 2n
1 2
1 22
1 23
1 2n
——无限个数相加！
直观上感觉结果（和）应该是1。
再如： 1 1 1 1 1 1 如果 （1 1）（ 1 1）（ 1 1） 结果是0。 如果 1（ 1 1（） 1 1（） 1 1 ） 结果是1。
？
看来无限个数相加与有限个数相加不一样！ 有必要研究无限个数相加的含义！
二、级数的概念
定义1(级数) 给定数列 {un } : u1, u2 , u3 ,
u1 u2 u3 un
通项
记着 un u1 u2 u3 un
n1
称为常数项级数或无穷级数，简称级数。
级数的前n项的和称为部分和，记着 n sn u1 u2 un ui
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35(2n 1) (来自n 1)1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
定理1:(Cauchy收敛准则)
un收敛 0,N ,m N ,p 0,有
n1
| um1 um2 um p | .
证
un收敛 {sn }收敛
n1
部分和sn构成一个数列，i称1 为部分和数列。
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,
sn u1 u2 un ,
定义2：( 级数的收敛与发散):
如果级数 un 的部分和数列{sn }有极限s, 即
n1
lim
n
sn
s,
则称无穷级数 un
n1
收敛,极限 s
0,N ,m N ,p 0,有 | sm p sm |
即 | um1 um2 um p | .
推论:(级数收敛的必要条件)
un收敛
n1
lim
n
un
0.
上述推论的逆命题不真.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
请记忆！
解
| um1 um2 umm |
再看一个有趣的例子： 1 2 3 4 5 6
1 (1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
1 1 (1 1) (2 1) (3 1) (4 1) (5
11 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
证
| um1 um2 um p |
(m
1
1)2
(m
1
2)2
(m
1
p)2
1
1
1
m(m 1) (m 1)(m 2)
(m p 1)(m p)
1 1 1 1 1 1
m m1 m1 m2
m p1 m p
1 1 m m
p
1 m
0,
(m )
故级数收敛。
三、基本性质
性质 1 设两个收敛级数s un , vn ,则对任
部分和奇偶子列收敛于不同的数，
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
请记忆!
例 2 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比 q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
例 3 判别无穷级数
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时, lim qn 0 n
当q 1时, lim qn n
如果 q 1时
lim
n
sn
a 1q
lim
n
sn
收敛 发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明
un收敛 0,N ,m N ,p 0,有
n1
| um1 um2 um p | .
故级数收敛与否,与前面的有限项无关.
类似地可以证明在级数前面加上或改变有 限项不影响级数的敛散性.
性质 3 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.