求通项公式的常用方法一、定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.二 、公式法：递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)解法：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例题：已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？跟踪训练1、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()1lg n S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}n a 是等比数列.三 、待定系数法：（换元法）○1 类型一：q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列{a n -t}的形式求解求解。

例题：1、已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式.2、数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式3、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．5、已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a○2类型二、n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中nnn qa b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

例题：已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

跟踪训练：1、设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =求首项1a 与通项n a ；2、已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a○3类型三、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s ，再应用再利用等比数列}s {1--n n a a 求解。

例题： 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。

跟踪训练:1、已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。

2、数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a3、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；4、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式○3类型四 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)与其它类型综合 解法：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例题：数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .跟踪训练：1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

2、数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a .四、累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例题：已知无穷数{}n b 满足11b =，112nn n b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式.跟踪训练：1、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2、已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。

五、累乘法:利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).例题：已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.跟踪训练：1、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

2、已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥六： 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例题：已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。

当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3111--+=n n n b a b ，求n a ,n b .跟踪训练：1、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422=+成立，求{}n a 的通项an.2、设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*）， 求数列的通项公式an.3、数列{}n a 中，211=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .4、设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.数列的前n 项求和一、公式法直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：（1）等差数列求和公式:11()(1)22n n n a a n n s na d +-==+ （2）等比数列求和公式:111,(1)(1)(1)11n n n na q s a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩例 1、 求和。

（1）100321,21a a a a n a n ++++-= 求 （2）205434,2a a a a a n n ++++=- 求二、拆项（分组求和法）若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组求和法=+++++++++=++++++++=++++=)()()()()()(321321332211321n n n n nn b b b b a a a a b a b a b a b a c c c c S例1,求1111123()2482nn +++++的值.例2．求和：.212874321n n -+⋯⋯+++例3.已知数列9，99，999，……，求数列前n 项和S n.跟踪训练：求和。

（1）n n n a a a a n a +++++= 321,212求（2）n n n a a a a a ++++-= 321),110(31求三、裂项（裂项相消法） 例题：求1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+的值.跟踪训练：1、求111112123123412(1)n ++++++++++++++的值.2、求和.)12)(12(1751531311+-+⋯⋯+⨯+⨯+⨯=n n S n四、错位相减法若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

这种方法叫错位相减法。

n n c c c c S ++++= 3210332211+++++=n n b a b a b a b a ①=n qS 1132210+-+++++n n n n b a b a b a b a ②①-②得：143211)()1(+-+++++=-n n n n b a b b b b d b a S q=111111)1(+---+-n n n b a qq a ddb b a =……例1.求和.223222132n n n S +⋯⋯+⨯+⨯+⨯=例2.求数列.212n n S n n 项和的前⎭⎬⎫⎩⎨⎧-跟踪训练：求和。

（1）n n n a a a a n a ++++⋅-= 321,2)34(求 （2）n nn a a a a n a ++++⋅= 321,212求五、特殊法 例1n +++的值.六、应用已知数列{}n a 的前n 项和2*10()n s n n n N =-∈,123||||||||,n n n T a a a a T =++++求。